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Nichtlineare Regression***
5.3.3
Nicht jeder Zusammenhang wird durch eine Gerade optimal beschrieben: Es gibt exponentielle
Zusammenhänge (die beispielsweise durch Wachstumsprozesse bedingt sind) oder Zusammen-
hänge, die sich besser durch eine logarithmische Funktion darstellen lassen.
Ehe man einen nichtlinearen Zusammenhang genauer untersucht, sollte man darüber nachden-
ken, ob es eine Theorie gibt, die diesen Trend erklärt. Danach versucht man, die Art des Zusam-
menhangs zu finden und eine allgemeine Regressionsgleichung mit Parametern a , b etc. aufzu-
stellen. Diese Wahl ist oft recht schwierig und erfordert sehr viel Erfahrung sowie genaue Kennt-
nisse der theoretischen Hintergründe. Wertvolle Hinweise liefert auch hier die grafische Darstel-
lung der Wertepaare als Punktwolke. Generell gibt es zwei Möglichkeiten, geeignete Werte für
die Regressionsparameter zu finden:
4
Manchmal ist es möglich, die nichtlineare Regressionsgleichung in eine lineare zu trans-
formieren. Anstelle der Gleichung y = a . e bx würde man die Funktion ln y = ln a + bx be-
trachten und nach der Methode der kleinsten Quadrate optimale Werte für ln a (und damit
auch für a ) sowie für b erhalten.
4
Man verwendet - ähnlich wie bei der linearen Regression - die Methode der kleinsten
Quadrate. So würde man etwa bei der Funktion f ( x ) = a . e bx die Summe der Abstands-
quadrate Σ ( y i - a . e bx ) 2 nach a und b ableiten und die Ableitungen gleich 0 setzen.
i Die Güte eines multiplen oder eines nichtlinearen Modells lässt sich ebenfalls mit
dem Determinationskoeffizienten r 2 (der das Verhältnis der erklärten zur Gesamt-
varianz wiedergibt) abschätzen.
Weitere Techniken
5.4
Korrelationskoeffizient nach Spearman
5.4.1
Siehe auch 7 Anhang, Mathematische Abhandlung 5.4.
Die Berechnung des Korrelationskoeffizienten nach Pearson ist an einige Be-
dingungen geknüpft. Es muss sich um quantitative Merkmale handeln, und der
Zusammenhang muss annähernd linear sein. Als Alternative bietet sich der Korrela-
tionskoeffizient nach Spearman an ( Charles Spearman , 1863-1945, brit. Psycholo-
ge). Dieser ist ein Maß für die Stärke eines monotonen Zusammenhangs. Er wird
auch als Rangkorrelation bezeichnet, da er auf den Rangzahlen der Beobachtungs-
werte ( x i , y i ) basiert.
i
Spearman untersuchte den Zusammenhang zwischen intellektuellen Leistungen
und einem allgemeinen Intelligenzfaktor. Er veröffentlichte seine Ergebnisse etwa
zeitgleich mit Pearson im Jahr 1904. In dieser Publikation wurde die Rangkorrela-
tion erstmals erwähnt.
 
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