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Ob der Zusammenhang als linear angesehen werden kann, sollte vorab durch sach-
logische Überlegungen geklärt werden. Hilfreich zur Beurteilung dieser Frage ist au-
ßerdem die Punktwolke ( . Abb. 5.1 ): Sie muss so geartet sein, dass sich mitten durch
sie eine Gerade legen lässt, um die die Punkte ellipsenförmig liegen.
Die Unabhängigkeit der Beobachtungseinheiten lässt sich ebenfalls durch logische
Überlegungen prüfen. In 7 Beispiel 5.1 ist diese Voraussetzung erfüllt. Die Daten wären
jedoch nicht unabhängig, wenn sich unter den Studenten Geschwister befänden oder
wenn man die Daten einzelner Studenten mehrfach erfasst hätte. Bei Abhängigkeit der
Merkmalspaare könnte ein stärkerer Zusammenhang als tatsächlich vorhanden vor-
getäuscht werden.
Wenn die empirischen Maßzahlen der Stichprobe als Schätzer für die entsprechen-
den Parameter der Grundgesamtheit dienen, müssen außerdem die beiden Merkmale
bivariat normalverteilt sein ( 7 Abschn. 8.3.4 ).
Kovarianz
5.2.3
Der Korrelationskoeffizient nach Pearson und die Parameter der Regressionsgeraden
bauen auf der sog. Kovarianz auf. Sie wird mit s xy bezeichnet und - basierend auf den
Mittelwerten - und - - folgendermaßen berechnet:
n
n
(
xxyy
−⋅
) (
)
xy n x y
−⋅⋅
i
i
ii
(5.1)
i
=
1
i
=
1
s
=
=
xy
n
1
n
1
Formel (5.1) ähnelt 7 Formel (4.7) zur Berechnung der Varianz. Während die Varianz
das durchschnittliche Abweichungsquadrat ( x i - - ) 2 quantifiziert, erfasst die Kova-
rianz das durchschnittliche Produkt der Abweichungen ( x i - - ) und ( y i - - ). Die Di-
vision durch n - 1 gewährleistet, dass man einen optimalen Schätzwert für die Kova-
rianz der Grundgesamtheit erhält.
Die Kovarianz ist ein Maß für das »Miteinander-Variieren« zweier Merkmale. Sie
kann positive und negative Werte annehmen:
4
Eine positive Kovarianz s xy > 0 impliziert einen gleichsinnigen Zusammen-
hang. Wenn beide Messwerte einer Beobachtungseinheit größer oder beide klei-
ner sind als der jeweilige Mittelwert, haben die Terme ( x i - - ) und ( y i - - ) das-
selbe Vorzeichen, sodass deren Produkt positiv ist ( . Abb. 5.2a ).
4
Eine negative Kovarianz s xy < 0 ergibt sich, wenn sich die beiden Merkmale
gegensinnig verhalten. Dann haben die Abweichungen ( x i - - ) und ( y i - - )
unterschiedliche Vorzeichen, sodass deren Produkt negativ ist ( . Abb. 5.2b ).
4
Eine Kovarianz nahe bei 0 signalisiert, dass nahe beieinander liegende x -Werte
sowohl mit positiven als auch mit negativen Abweichungen ( y i - - ) korrelieren,
 
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