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Beispiel 4.9: Standardabweichungen
Für die Standardabweichungen der »Körpergröße« berechnet man:
s m = 6,41 cm (männliche Studenten, n = 40)
s w = 5,24 cm (weibliche Studenten, n = 35)
s ges = 8,24 cm (alle Studenten, n = 75)
Die »gemischte« Gruppe ist also bezüglich der Körpergröße wesentlich heterogener als
die beiden Gruppen der männlichen und der weiblichen Studenten.
4
Es ist üblich, quantitative, annähernd symmetrisch verteilte Daten durch den Mittel-
wert und die Standardabweichung in der Form - ± s unter Angabe des Stichproben-
umfangs n zu charakterisieren, wie z. B. für die Körpergröße der männlichen Studen-
ten: - ± s = (181,63 ± 6,41) cm ( n = 40). Die Standardabweichung erlaubt folgende
grobe Abschätzungen:
4
Bei Normalverteilungen liegen etwa 2/3 aller Werte zwischen - - s und - + s ;
zwischen den Grenzen - - 2 s und - + 2 s liegen ungefähr 95% aller Werte.
4
Wenn man von einer Verteilung nur weiß, dass sie symmetrisch und eingipflig
ist, lässt sich angeben: Mindestens 8/9 aller Werte liegen innerhalb der Grenzen
- ± 2 s ; 95% befinden sich im Bereich - ± 3 s .
4
Generell findet man bei allen (also auch bei schiefen) Verteilungen mindestens
3/4 aller Werte im Intervall - ± 2 s und 8/9 im Intervall - ± 3 s .
Außerdem ist die Standardabweichung geeignet, um Einzelwerte größenmäßig einzu-
ordnen und Werte aus unterschiedlichen Stichproben zu vergleichen. Dies geschieht
mit der z -Transformation:
z xx
s
i
=
(4.9)
i
Damit erhält man dimensionslose Werte, die angeben, um wie viele Standardabweichun-
gen ein Einzelwert vom Mittelwert abweicht. Man würde beispielsweise die Körpergröße
eines 180 cm großen Studenten als durchschnittlich einschätzen, seine Kommilitonin
mit der gleichen Körpergröße als eher groß. Dies wird durch die transformierten Werte
z 1 = (180 - 181,63)/6,41 = -0,25 und z 2 = (180 - 170,09)/5,24 = +1,90 bestätigt.
Variationskoeffizient
4.3.2
Siehe auch 7 Anhang, Mathematische Abhandlung 4.4 .
Eine Standardabweichung von 6,41 cm bezogen auf die Körpergröße männlicher
Studenten mit einem Durchschnittswert von 181,63 cm wiegt wesentlich weniger als
 
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