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Streuungsmaße
4.3
Varianz und Standardabweichung
4.3.1
Siehe auch 7 Anhang, Mathematische Abhandlung 4.3.
Ein Mittelwert gibt zwar an, in welchem Bereich sich die Stichprobenwerte kon-
zentrieren. Über die Einzelwerte sagt er jedoch wenig aus, da diese mehr oder weniger
stark vom Mittelwert abweichen (wie Franz Josef Strauß durchaus richtig erkannt hat).
Deshalb ist es sinnvoll, ein Streuungsmaß anzugeben, um die Variabilität der Daten zu
quantifizieren.
Bei quantitativen Merkmalen ist der Mittelwert das am häufigsten benutzte La-
gemaß. Es liegt deshalb nahe, ein Streuungsmaß zu definieren, das die Abweichun-
gen der Stichprobenwerte vom Mittelwert quantifiziert. Ein solches Maß ist die Va-
rianz - das ist die mittlere quadratische Abweichung der Daten vom Mittelwert.
Wenn man nun (wie es naheliegend erscheint) die Varianz berechnet, indem man
die Summe der Abstandsquadrate ( x i - - ) 2 durch n dividiert, erhält man die Varianz
der Stichprobe . Allerdings ist diese Stichprobenvarianz im Durchschnitt etwas klei-
ner als die Varianz der Grundgesamtheit. Wie später ( 7 Abschn. 8.2.3 ) gezeigt wird,
erhält man aus den Messwerten der Stichprobe einen optimalen Schätzwert für die Va-
rianz der Grundgesamtheit, wenn man die empirische Varianz nach folgender For-
mel ermittelt:
n
n
2
2
2
(
xx
)
xx
i
i
i
=
1
i
=
1
Var =
=
(4.7)
n
1
n
1
Wegen der quadratischen Dimension ist die Varianz schwer zu interpretieren. Um ein
Streuungsmaß mit gleicher Dimension wie die der Stichprobendaten zu erhalten, zieht
man die Wurzel aus der Varianz und erhält die Standardabweichung s :
s =
Var
(4.8)
Die Standardabweichung stellt ein Maß für die Homogenität bzw. Heterogenität der
Stichprobe dar. Sie ist wie der Mittelwert nur bei quantitativen Merkmalen sinnvoll.
Im Allgemeinen ist diese Maßzahl positiv; nur im Extremfall - wenn alle Werte iden-
tisch sind und die Stichprobe vollkommen homogen ist - nimmt sie den Wert 0 an.
 
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