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Mathematische Abhandlung 10.2: U-Test von Mann und Whitney (S. 190)
Zunächst berechnen wir die Summe der Prüfgrößen. Aus 7 Formel (10.9) folgt:
UU nn nn nn
(
++
1
)
(
+ −+
1
)
11
2 2
+= +
2
(
RR
)
1
2
1
2
1
2
2
Da die Summe der Rangzahlen R 1 und R 2 der Summe aller Zahlen von 1 bis n 1 + n 2
entspricht, gilt:
RR nnnn
1
+= +
(
1212 1
2
)(
+
+
)
2
Setzt man diesen Ausdruck in die obige Formel ein, erhält man U 1 + U 2 = n 1 . n 2 .
Welche Werte können U 1 und U 2 annehmen? Wir gehen zunächst von folgendem
Extremfall aus: Jedes Element x i der 1. Stichprobe ist kleiner als jedes beliebige Ele-
ment y j der 2. Stichprobe. In diesem Fall unterscheiden sich die beiden Stichproben
maximal. Dann haben die x i die Ränge 1 bis n 1 und die y i die Ränge n 1 + 1 bis n 1 + n 2 .
Es gilt also: R 1 = n 1 . ( n 1 + 1)/2 und damit nach 7 Formel (10.9) : U 1 = n 1 . n 2 , U 2 = 0 und
U = min( U 1 , U 2 ) = 0. Wenn die Ränge in den beiden Stichproben gleichverteilt sind,
verhalten sich die Rangsummen wie die Stichprobenumfänge, also n 1 / n 2 = R 1 / R 2 . In
diesem Fall ist U = U 1 = U 2 = n 1 . n 2 /2.
Mathematische Abhandlung 11.1: Chi 2 -Vierfeldertest (S. 200)
Die Berechnung der Prüfgröße als Summe aller ( B - E ) 2 / E erscheint plausibel. Je mehr
eine beobachtete Häufigkeit B von der erwarteten Häufigkeit E abweicht, umso größer
wird dieser Quotient. Die Division durch E erfolgt, um der Tatsache Rechnung zu
tragen, dass die Abweichung ( B - E ) umso schwerer wiegt, je kleiner die Erwartungs-
häufigkeit E ist. Mit elementaren Rechenregeln lassen sich dann die Häufigkeiten in
.
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Tab. 11.2 herleiten.
Wieso ist nun die Summe der ( B - E ) 2 / E unter der Nullhypothese χ 2 -verteilt? Dazu
betrachten wir die Häufigkeiten a und c . Wir definieren n 1 = a + b und n 2 = c + d . Die
Häufigkeit a ist unter H 0 binomialverteilt mit dem Erwartungswert n 1 p und der Va-
rianz n 1 p (1 - p ) [wobei p = P ( A )]. Auch c ist binomialverteilt mit dem Erwartungswert
n 2 p und der Varianz n 2 p (1 - p ). Unter H 0 hat die Differenz D = a/n 1 - c / n 2 den Erwar-
tungswert 0 und die Varianz s D 2 = p (1 - p )(1/ n 1 + 1/ n 2 ). Also ist D / s D standardnormal-
verteilt. Demnach folgt ( D / s D ) 2 einer χ 2 -Verteilung mit einem Freiheitsgrad ( 7 Abschn.
7.4.2 ). Setzt man in ( D / s D ) 2 Folgendes ein: p = ( a + c )/ n , n 1 = a + b und n 2 = c + d , erhält
man nach einigen Umrechnungen die Prüfgröße nach 7 Formel (11.2) .
 
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