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196
,
σ
≤−≤
196
,
σ
P
(
X
μ
)
=
095
,
n
n
Das bedeutet, dass der Abstand zwischen Mittelwert und Erwartungswert betragsmä-
ßig mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit unterhalb von 196
,
⋅σ
/
n liegt. Damit ergibt
sich ein Konfidenzintervall nach 7 Formel (8.7) .
j
Mathematische Abhandlung 8.3: Konfidenzintervall für eine Wahrschein-
lichkeit (S. 154)
Dieses Konfidenzintervall basiert auf dem zentralen Grenzwertsatz. Für npq ≥ 9 ist die
binomialverteilte Variable X normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = np und der
Varianz σ 2 = np (1 - p ) ( 7 Abschn. 7.1.2 ). Also gilt:
X p
np
Pz
(
z
)
= −
1
α
12
α
/
12
α
/
(
1
p
)
Durch Umformen ergibt sich dann das Konfidenzintervall:
pp
n
(
1
)
pz
±
−12
α/
Das unbekannte p unter der Wurzel wird durch den Schätzwert ˆ ersetzt. Um das In-
tervall auch für kleinere Stichprobenumfänge konstruieren zu können, fügt man die
Stetigkeitskorrektur 1/2 n hinzu (wodurch das Intervall insgesamt um den Faktor 1/ n
verbreitert wird). Dadurch versucht man, den Fehler auszugleichen, der beim Über-
gang von den relativen Häufigkeiten ˆ (diskrete Variable) zur Standardnormalvertei-
lung entsteht.
j
Mathematische Abhandlung 10.1:
t
-Test für zwei unverbundene Stich-
proben (S. 182)
Die Prüfgröße beschreibt die Verteilung der Differenz - - - , die aus den Mittelwerten
der beiden Stichproben berechnet wird. Unter der Nullhypothese sind die Differenzen
normalverteilt mit dem Erwartungswert 0.
Für deren Varianz gilt:
2
2
= σσ
Var
(
XY X Y nn
−=
)
Var
+
Var
2
Die unbekannte Varianz σ 2 wird geschätzt durch das gewichtete Mittel der beiden
Stichprobenvarianzen nach 7 Formel (10.3) . Setzt man diese Terme in 7 Formel (7.40)
ein, erhält man eine Prüfgröße nach 7 Formel (10.2) .
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