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Nach der Definition der Varianz [ 7 Formel (6.26) ] gilt:
EX
(
−=
μ
)
2
Var
(
X
)
=
σ
2
i
i
Daraus folgt:
((
EX n
i
μ
))
2
= ⋅
σ
2
i
1
Außerdem ist E ( - - μ) 2 = Var( - ) = σ 2 / n . Wenn man dies in die obige Gleichung ein-
setzt, erhält man 7 Formel (8.4) :
2
2
n
σσ σ
ES
()
2
=
=
2
n
1
Dies ist die formale Rechtfertigung dafür, dass bei der empirischen Varianz durch
( n - 1) dividiert wird. Nach 7 Formel (7.43) ist die Variable (
2
nS
1
χ 2 -verteilt mit
2
σ
der Varianz 2( n - 1). Daraus leitet man 7 Formel (8.5) her:
4
4
21
1
(
n
n
−⋅
)
σσ
2
Var(
S
2
)
=
=
2
(
)
n
1
Nun gilt nach 7 Formel (6.26) : Var( X ) = E ( X 2 ) - μ 2 . Ersetzt man in dieser Gleichung X
und μ durch S bzw. ES , erhält man:
Var(
SES S S
)
=
(
2
)
(
)
2
=
σ
2
(
)
2
Daraus folgt: ( ES ) 2 = σ 2 - Var( S ) und damit ES < σ. Die empirische Standardabwei-
chung s schätzt also σ systematisch zu gering.
j
Mathematische Abhandlung 8.2: Konfidenzintervall für einen Erwar-
tungswert (S. 152)
Diesem Intervall liegt der zentrale Grenzwertsatz zugrunde. Demnach sind alle theo-
retisch denkbaren Mittelwerte aus Stichproben des Umfangs n normalverteilt (zumin-
dest für n ≥ 25) mit dem Erwartungswert μ und der Standardabweichung
σ
/
n
.
Deshalb gilt:
−≤
X
μ
P
(
1 96
,
1 96
,
)
=
0 95
,
σ
Die Zahlenwerte sind die Grenzen, die den 95%-Referenzbereich der Standard-
normalverteilung definieren ( . Tab. 7.2 ). Durch Umformen dieser Ungleichung er-
gibt sich:
/
n
 
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