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Daraus folgt: Das Maximum (d. h. der Modalwert) ist bei x= μ ( f ʹ(μ) = 0, f ʹʹ(μ) < 0); die
Wendepunkte sind bei x = μ ± σ ( f ʹʹ(μ ± σ) = 0).
Der Nachweis, dass die gesamte Fläche unter der Glockenkurve gleich 1 ist, erfor-
dert die Lösung des bestimmten Integrals über den Ausdruck in 7 Formel (7.17) . Um
nachzuweisen, dass es sich bei den Parametern μ und σ 2 tatsächlich um den Erwar-
tungswert bzw. die Varianz handelt, reichen schulmathematische Kenntnisse nicht aus.
Deshalb wird an dieser Stelle auf den Beweis verzichtet.
j
Mathematische Abhandlung 7.4: Sterberate (S. 136)
Die Sterberate r ( t ) basiert auf der bedingten Wahrscheinlichkeit, dass ein Indivi-
duum, nachdem es den Zeitpunkt t überlebt hat, im darauf folgenden Zeitintervall
der Länge t + Δ t stirbt. Diese Wahrscheinlichkeit ist wegen der Definition von F ( t )
und S ( t ):
Pt T t
(
<≤+
>
Δ
t
)
Ft t Ft
St
(
+−
Δ
)
( )
Pt T t
(
<≤+
Δ
t X t
|
>=
)
=
PT t
(
)
()
Unter der momentanen Sterberate versteht man nun diese Wahrscheinlichkeit bezo-
gen auf ein infinitesimal kleines Zeitintervall der Länge Δ t :
Ft t Ft
t
(
+−
Δ
Δ
)
( )
1
rt
()
=
lim
t
S t
()
Δ
0
Für den Differenzialquotienten gilt:
Ft t Ft
t
(
+− =
Δ
Δ
)
()
dF t
dt
()
()
lim
Δ
=
ft
()
t
0
Daraus ergibt sich:
ft
St
()
()
rt
()
=
j
Mathematische Abhandlung 8.1: Schätzeigenschaften der empirischen
Varianz (S. 150)
Zunächst muss man sich Folgendes klarmachen: Die empirische Varianz wird aus
Stichprobenwerten x i berechnet, die Realisationen von Zufallsvariablen X i sind.
Alle X i haben den Erwartungswert μ und die Varianz σ 2 . Für den Erwartungswert der
empirischen Varianz erhält man nach einigen Umrechnungen:
n
n
2
2
2
EXX
(
)
EX nX
(
−− −
μ
)
(
μ
)
i
i
i
=
1
i
=
1
2
ES
()
=
=
n
1
n
1
 
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