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von k Elementen auszuwählen. Für das 1. Element gibt es n Auswahlmöglichkeiten,
für das 2. Element verbleiben ( n - 1) und für das k-te Element noch ( n - k + 1)
Möglichkeiten - dies ergibt insgesamt
n
nk
!
Permutationen .
nn
⋅ −⋅ ⋅ −+=
(
1
) ... (
nk
1
)
(
)!
Nun spielt aber bei unserer Fragestellung die Reihenfolge, in der die Elemente ange-
ordnet sind, keine Rolle. Es gibt insgesamt k ! Möglichkeiten, k verschiedene Elemen-
ten anzuordnen. Deshalb muss man den obigen Quotienten durch k ! dividieren und
erhält
!
(!)(
n
knk
n
k
⋅ − =
Kombinationen und damit:
!
n
k p knk
==
PX k
(
j
Mathematische Abhandlung 7.2: Parameter der Poisson-Verteilung (S. 121)
Diese Verteilung ist ein Grenzfall der Binomialverteilung und lässt sich aus dieser
herleiten. Mit 7 Formel (7.4) und λ = n . p ergibt sich:
k
n
k
n
k pq
n
knk n n
!
λ
λ
==
= ⋅ −
⋅ −
PX k
(
)
knk
1
=
!(
)!
n
k
1
nn
⋅ −⋅ ⋅ −+
(
1
) ... (
nk
1
)
λ
λ
k
λ
⋅ −
1
1
k
k
!
n
n
n
Für großes n und vergleichsweise kleines k ist das Produkt der k Faktoren des Zählers
ungefähr n k . Wie aus der Analysis bekannt ist, gilt:
n
k
λ
λ
=
lim
1
e
λ . Au erdem ist
lim
1
=
1
.
n
n
n
→∞
n
→∞
Damit erhalten wir für obige Formel:
k
λ
PX k
(
== ⋅
)
e
λ
k
!
j
Mathematische Abhandlung 7.3: Gauß'sche Glockenkurve (S. 126)
Für die Ableitungen von f ( x ) berechnet man mit der Kettenregel der Differenzialrech-
nung:
2
fx fx x
μ
fx fx x
(
μ
)
1
'(
)
=−
(
)
und
''(
)
=
(
)
2
4
2
σ
σ
σ
 
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