Healthcare and Medicine Reference
In-Depth Information
Daraus folgt: P ( X > c μ) ≤ 1/ c . Wenn man nun anstelle von X die Variable ( X - μ) 2 mit
dem Erwartungswert σ 2 betrachtet und für c eine Konstante k 2 einsetzt, erhält man:
(
)
PEX
(
−>
μ
)
2
k
2
σ
2
1
/
k
2
Da der Ausdruck in der Klammer gleichbedeutend ist mit: | EX - μ| > k σ, folgt daraus
die Tschebyscheff-Ungleichung in der Form von 7 Formel (6.35) .
j
Mathematische Abhandlung 6.5: Gesetz der großen Zahlen (S. 111)
Zunächst berechnen wir den Erwartungswert und die Varianz des Mittelwerts. Mit
7
Formel (6.24) und 7 Formel (6.25) leitet man her:
n
n
1
n
μ
EXEXn n
()
=
(
/)
=
EX
( )
=
=
μ
i
i
n
i
=
1
i
=
1
Für die Varianz berechnet man mit 7 Formel (6.29) und 7 Formel (6.32) :
n
n
2
2
1
n
σσ
Var
()
X
=
Var
(
X n
/)
=
Var
( )
X
=
=
i
i
2
2
n
n
n
i
=
1
i
=
1
Dann folgt mit der Tschebyscheff-Ungleichung (6.36):
2
2
Var(
2
X
)
σ
ε
(
)
PX
|
−>
με
|
=
→∞
0
ε
n
n
Betrachtet man nun die Wahrscheinlichkeit für das komplementäre Ereignis | - - μ| < ε,
ergibt sich das Gesetz der großen Zahlen nach 7 Formel (6.42) .
j
Mathematische Abhandlung 7.1: Parameter der Binomialverteilung (S. 117)
Wir betrachten den einfachsten Fall n = 1. Nach 7 Formel (6.22) und 7 Formel (6.27)
berechnet man:
μ
σ
=⋅ +⋅ =
=− ⋅ +− ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + =
10
1
pqp
p
und
2
(
)
2
p
(
0
p
)
2
q
q
2
p
p
2
q
pq q
(
p
)
p
q
Für die Summe X = X 1 + + X n gilt nach 7 Formel (6.25) und 7 Formel (6.32) :
EX
=
np
und Var
X
=
npq
Bei n unabhängigen Wiederholungen beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass bei den
ersten k Experimenten das Ereignis A und bei den folgenden ( n - k ) Experimenten das
Ereignis - eintritt, p k . q n-k . Diese Wahrscheinlichkeit ergibt sich bei allen Kombina-
tionen, bei denen genau k- mal das Ereignis A eintritt. - Jetzt bleibt nur noch zu klären,
Search Pocayo ::




Custom Search