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j
Mathematische Abhandlung 6.2: Bayes-Theorem (S. 102)
Nach der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit in 7 Formel (6.9) ist
PA B
PB
(
)
()
PAB
(
|
)
=
Vertauscht man die Ereignisse A und B in 7 Formel (6.10) des Multiplikationssatzes,
lässt sich der Zähler dieses Quotienten schreiben als:
PA B PA PBA
(
∩= ⋅
)
(
)
(
|
)
Analog leitet man her:
PA B PA PBA
(
∩= ⋅
)
(
)
(
|
)
Mittels des Satzes von der totalen Wahrscheinlichkeit [ 7 Formel (6.5) ] ergibt sich dann
für den Nenner des obigen Quotienten:
PB PA B PA B PA PBA PA PBA
()
=∩+∩= ⋅
(
)
(
)
() (
|
)
+ ⋅
() (
|
)
Mit diesen Ausdrücken erhält man für P ( A | B ) die 7 Formel (6.13) .
j
Mathematische Abhandlung 6.3: Rechenregeln zur Varianz (S. 108)
Aus der Definition der Varianz ergibt sich unter Berücksichtigung von 7 Rechenregel
(6.24) und 7 Rechenregel (6.25) die 7 Formel (6.26) :
2
2
2
2
2
2
σ
=
EX
((
μ
) )
=
EX X
(
2
μ
⋅ +
μ
)
=
EX
(
)
2
μ
EX
(
)
+
μ
=
2
2
2
2
2
−μ
=
EX
(
)
2
μμ
+
=
EEX
(
)
7
Formel (6.27) und 7 Formel (6.28) folgen dann direkt, wenn man in 7 Formel (6.22)
bzw. 7 Formel (6.23) x durch ( x - μ) 2 ersetzt. Für die Variable aX + b erhält man aus der
Definition der Varianz in 7 Formel (6.26) die 7 Formel (6.29) :
Var
(
aX b
+=
)
E aX b a
(
+− − =⋅
μ
b
)
2
a E X
2
(
− =⋅
μ
)
2
a
2
Var
(
X
)
j
Mathematische Abhandlung 6.4: Tschebyscheff-Ungleichung (S. 110)
Zunächst betrachten wir eine stetige Zufallsvariable X mit dem Erwartungswert μ, die
nur positive Werte annehmen kann. Dann gilt nach der Definition des Erwartungs-
wertes in 7 Formel (6.23) für alle c > 0:
+∞
+∞
+∞
μ
=
xf xdx
()
xf xdx c f xdx c PX c
()
μ
()
=
μ
(
>
μ
)
 
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