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n
n
n
2
2
x y
nxy
x a bx
(
+− +
)
nx a bx
(
)
bx
(
nx
)
ii
i
i
i
i
=
1
i
=
1
i
=
1
2
s
=
=
=
=
bs x
xy
n
1
n
1
n
1
Für die Varianz s y 2 ergibt sich:
n
n
(
yy
)
2
bx
2
(
x
)
2
i
i
s
2
=
i
=
1
=
i
=
1
=
bs
22
y
x
n
1
n
1
Für positives b ist s y = bs x und s xy = bs x 2 = s x . s y . Für negatives b folgt analog: s y = -bs x
und s xy = -s x . s y . Da es sich hierbei um die beiden Extremfälle handelt, folgt für die
Kovarianz: - s x . s y s xy s x . s y . Daraus ergibt sich für den Korrelationskoeffizienten:
s
ss
xy
xy
r
=
:1
−≤ ≤
r
1
j
Mathematische Abhandlung 5.2: Regressionsgerade (S. 81)
Von der Regressionsgeraden y = a + bx erwartet man, dass die Abweichungen zwi-
schen gemessenen und berechneten Werten ( y i - ˆ i ) möglichst gering sind. Es gilt also,
passende Werte für a und b zu finden, die eine Gerade mit dieser Eigenschaft definie-
ren. Dazu minimiert man nach der Methode der kleinsten Quadrate die Summe der
Abstandsquadrate:
n
n
(
y
y
2
)
=
(
y
− −
a bx
)
2
=
f a b
( ,
)
i
i
i
i
1
Das Minimum dieser Funktion erhält man, indem man die Ableitungen (nach der
Kettenregel der Differenzialrechnung) bildet und gleich 0 setzt:
df
da
i
=
1
i
=
n
=−
2
(
y
− −
a bx
)
=−
2
n y
(
− −
a bx
)
=
0
und
i
i
i
1
n
n
n
df
db
=−
2
x y
(
− −
a bx
)
=
2
b x
2
2
x y
+
2
anx
=
0
i
i
i
i
i
i
i
=
1
i
=
1
i
=
1
Aus der ersten Gleichung folgt: a = - - b - . Setzt man diesen Term in die zweite Glei-
chung ein und löst nach b auflöst, ergibt sich mit 7 Formel (5.1) und 7 Formel (4.7) :
n
x y
nxy
ii
s
s
xy
x
i
=
1
b
=
=
n
2
2
2
xx
i
i
=
1
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