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Mathematische Abhandlung 4.3: Varianz (S. 61)
Die Idee, anstelle des mittleren Abstandsquadrats einfach den mittleren Abstand der
Messwerte vom Mittelwert zu berechnen, erweist sich als unsinnig, da sich positive
und negative Abweichungen ausgleichen:
n
n
−= −=−=
(
xx x x x x
i
)
0
i
i
=
1
i
=
1
Dies erklärt, weshalb man bei der Berechnung der Varianz die Summe der Abstands-
quadrate zugrunde legt. Wenn man im Zähler der 7 Formel (4.7) die einzelnen Terme
ausmultipliziert und addiert, erhält man mit Hilfe der zweiten binomischen Formel:
n
n
n
n
n
(
x
−= −
x
)
2
x
2
2
x
x
+= − += −
nx
2
x
2
2
nx
2
nx
2
1
x
2
nx
2
i
i
i
i
i
i
=
1
i
=
1
i
=
1
i
=
1
i
Die Division durch n - 1 ist dadurch begründet, dass nur n - 1 Summanden des Zählers
eine Information beinhalten. Wenn nämlich n - 1 Stichprobenwerte und der Mittelwert
bekannt sind, lässt sich aus diesen Angaben der noch fehlende Summand ermitteln. Die
Zahl f = n - 1 wird auch als »Anzahl der Freiheitsgrade« bezeichnet. Das bedeutet: Man
hat die »Freiheit«, n - 1 Werte nach Belieben zu verändern und den letzten Wert ent-
sprechend anzupassen, ohne dass sich dabei der Wert der Varianz ändert.
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Mathematische Abhandlung 4.4: Variationskoeffizient (S. 62)
Die Varianz ist minimal (also 0), wenn alle Werte der Stichprobe identisch sind. Die
Varianz ist bei gegebenem Mittelwert - maximal, wenn eine Beobachtungseinheit den
We r t n . - annimmt, während die anderen n - 1 Werte gleich 0 sind. Für diesen
Extremfall ergibt sich mit 7 Formel (4.7) :
2
2
2
2
2
1
(
nx
−+−⋅ −
x
)
(
n
1
) (
0
x
)
(
n
−⋅
1
)
x
+−⋅
(
n
1
)
x
s
2
=
=
=⋅
nx
2
n
1
n
1
Daraus folgt:
0
≤= ≤
Vsx n r
/
und 0
≤ ≤
1
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Mathematische Abhandlung 5.1: Korrelationskoeffizient nach Pearson
(S. 78)
Es ist offenkundig, dass die Kovarianz s xy genau dann maximal wird, wenn der Zusam-
menhang funktional ist und sich durch eine lineare Gleichung y = a + bx exakt be-
schreiben lässt.
Dann erhält man nach den Definitionen der Kovarianz in 7 Formel (5.1) und der
Varianz in 7 Formel (4.7) und mit x x
i
n
= 1
=
:
i
 
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