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Mathematische Abhandlungen
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Mathematische Abhandlung 4.1: Mittelwert (S. 55)
Vom Mittelwert - erwartet man, dass er die Lage der Werte x i optimal repräsentiert;
d. h., die Abweichungen der x i von - sollten möglichst gering sein. Die Summe aller
Abstände ∑( x i - - ) zu minimieren ist nicht sinnvoll, da sich positive und negative
Abweichungen gegenseitig ausgleichen. Daher berechnet man - so, dass die Summe
der Abstandsquadrate ∑( x i - - ) 2 minimal wird. Dieses Vorgehen bezeichnet man als
die Methode der kleinsten Quadrate . Aus der Analysis ist bekannt, dass eine Funk-
tion im Punkt - ein relatives Minimum hat, wenn gilt: f ʹ( - ) = 0 und f ʹʹ ( - ) > 0. Man
berechnet also für die Funktion
n
n
n
fx
()
=
(
x x
)
2
=
x x x nx
2
2
+ ⋅
2
i
i
i
i
=
1
i
=
1
i
=
1
ein - , für das gilt:
n
fx
'(
)
=−
2
x nx
+
2
=
0
und
fx n
''(
)
= >
2
0
i
i
1
n
= 1 / diese Voraussetzungen. Da mit diesem - die
Summe der Abstandsquadrate minimiert wird, gilt:
Offensichtlich erfüllt der Wert x
x n
i
i
n
n
−≤ −
(
xx xc
i
)
2
(
)
2
i
i
=
1
i
=
1
für alle reellen Zahlen c. Diese Ungleichung beschreibt die sog. Minimumeigenschaft
des Mittelwertes .
j
Mathematische Abhandlung 4.2: Median (S. 56)
Der Median ˜ ist der Wert, für den die Summe der Abweichungsbeträge
n
|
xx
i
|
minimal ist; d. h., es gilt für alle reellen Zahlen c :
i
1
n
n
−≤
1 1
Diese Ungleichung beschreibt die Minimumeigenschaft des Medians . Diese Eigen-
schaft setzt streng genommen quantitative Merkmale voraus, da Differenzen bei ordi-
nal skalierten Merkmalen nicht definiert sind. Für die Berechnung des Medians ist
jedoch nur die Reihenfolge der Werte maßgebend. Deshalb ist die Berechnung des
Medians auch bei ordinal skalierten Merkmalen üblich.
|
xx xc
i
|
|
|
i
i
=
i
=
 
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