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H 0 : Die Wahrscheinlichkeiten sind unterschiedlich. Es gilt also: p z 1/2.
Ein Binomialtest basiert auf sehr einfachen Annahmen:
4
Es liegt eine Stichprobe mit n Beobachtungseinheiten vor.
4
Die Stichprobenwerte sind Ausprägungen eines Alternativmerkmals.
Der Test überprüft, ob die relative Häufigkeit der Ausprägung A mit einer vorgegebenen Wahr-
scheinlichkeit p 0 vereinbar ist. Die Hypothesen lauten also:
H 0 : p = p 0
H 1 : p p 0 (bei zweiseitiger Fragestellung)
Zur Testentscheidung gelangt man folgendermaßen:
4
Zunächst werden in der Stichprobe die Beobachtungseinheiten mit der Ausprägung A ge-
zählt; deren Anzahl sei X . Die relative Häufigkeit ˆ = X/n ist ein Schätzwert für die Wahr-
scheinlichkeit p der Grundgesamtheit.
4
Unter der Nullhypothese ist diese Anzahl X binomialverteilt mit dem Erwartungswert np 0 .
Mit
7 Formel (7.4) lassen sich nun die Wahrscheinlichkeiten P ( X = k ) berechnen. Damit lässt
sich dann ein Bereich konstruieren, in den X bei Gültigkeit der Nullhypothese mit einer
Wahrscheinlichkeit von 1 - α = 95% fallen würde. Bei nicht allzu hohem Stichprobenum-
fang genügt dazu ein Taschenrechner.
Falls n hinreichend groß ist mit np 0 (1 - p 0 ) 9, lässt sich die Binomialverteilung von X durch eine
Normalverteilung mit dem Erwartungswert np 0 und der Varianz np 0 (1 - p 0 ) approximieren.
Dann ist auch ˆ = X/n normalverteilt mit dem Erwartungswert p 0 und der Varianz p 0 (1 - p 0 )/ n .
Daraus folgt, dass die Prüfgröße
11
pp
pp
n
0
0
(11.12)
Z
=
(
)
0
einer Standardnormalverteilung folgt. Der kritische Punkt ist 1,96 (für α = 5%, zweiseitige Frage-
stellung). Bei einer anderen Irrtumswahrscheinlichkeit ist dieser Wert durch z 1-α/2 entsprechend
anzupassen; bei einseitiger Fragestellung ist er durch ± z 1-α zu ersetzen (
. Tab. A.1 im 7 An-
hang).
Beispiel 11.7: Binomialtest
Von n = 75 Studenten sind k = 40 männlich. Ist diese Häufigkeit vereinbar mit der Hypo-
these, dass gleich viele Männer und Frauen Medizin studieren? Die Nullhypothese lautet:
p = 0,5. Der Schätzwert ist p
= 40/75 = 0,53. Da np 0 (1 - p 0 ) = 75 . 0,5 . 0,5 = 18,75 9, kann
man die Binomialverteilung von X durch eine Normalverteilung mit dem Erwartungswert
μ = 75 . 0,5 = 37,5 und der Varianz σ 2 = n . 0,5 2 = 18,75 approximieren. Für die Prüfgröße
nach
ˆ
7
Formel (11.12) berechnet man mit p 0 = 0,5:
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