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11.1.7 Logrank-Test***
Schließlich sei noch der ebenfalls auf der Chi 2 -Verteilung basierende Logrank-Test erwähnt, der
zum Vergleich von Überlebenszeiten angewandt wird. Mit diesem vergleicht man die Überle-
bensfunktionen S 1 ( t ) und S 2 ( t ) zweier unverbundener Stichproben. Das Besondere am Logrank-
Test ist, dass sich auch zensierte Daten (die häufig bei Überlebenszeitstudien auftreten) ange-
messen berücksichtigen lassen.
Mit dem Logrank-Test wird beispielsweise überprüft, ob sich eine Therapie oder ein prognosti-
scher Faktor auf die Überlebenszeit oder allgemein auf die Zeit bis zum Eintreten eines bestimm-
ten Endereignisses auswirkt. Ein Beispiel für die Darstellung einer Überlebenszeitkurve findet
man in
Abb. 15.1). Um zwei Kurven zu vergleichen, ermittelt man zunächst
die Anzahl der aufgetretenen Endereignisse b 1 und b 2 in den Stichproben; außerdem berechnet
man die Anzahl der Endereignisse e 1 und e 2 , die man erwarten würde, wenn beide Kurven iden-
tisch wären. Die Teststatistik für den Logrank-Test ist:
7
Abschn. 15.2.3 (
.
11 2
1
22 2
2
(
be
e
)
(
be
e
)
(11.10)
2
χ
=
+
Die Häufigkeiten b 1 und b 2 werden durch einfaches Zählen ermittelt. Die Berechnung der Erwar-
tungshäufigkeiten ist komplizierter. Dazu betrachtet man beide Stichproben gemeinsam und
notiert die Zeitpunkte t i ( i = 1, , k ), zu denen in einer der beiden Stichproben ein Endereignis
stattfindet, und die exakte Anzahl der zugehörigen Ereignisse d i . Dann ist
k
k
n
nn
n
nn
1
i
2
i
(11.11)
e
=⋅
d
und
e
=⋅
d
1
i
2
i
+
+
i
=
1
1
i
2
i
i
=
1
1
i
2
i
n 1 i und n 2 i sind die Beobachtungseinheiten der 1. bzw. der 2. Stichprobe, die zum Zeitpunkt t i
noch leben. Die beiden Quotienten n 1 i /( n 1 i + n 2 i ) und n 2 i /( n 1 i + n 2 i ) entsprechen den Anteilen in
der jeweiligen Stichprobe. Der Logrank-Test ist auch anwendbar auf mehr als zwei Gruppen. De-
taillierte Erläuterungen dazu findet man in Schumacher u. Schulgen (2008;
7 Anhang).
Andere Testverfahren
11.2
11.2.1 Binomialtest für eine Stichprobe***
Die Geschichte dieses Tests begann in den Jahren 1710-1712. Damals stellte der englische Wis-
senschaftler John Arbuthnot beim Studium von Kirchenbüchern fest, dass bei fast allen Jahrgän-
gen Knabengeburten häufiger eingetragen waren als Mädchengeburten. Aufgrund der hohen
Fallzahlen kam er zu dem Schluss: Das kann kein Zufall sein! Der Binomialtest ist die geeignete
Methode, um eine solche Vermutung objektiv zu überprüfen. Arbuthnot hätte dazu folgende
Hypothesen aufstellen müssen:
H 0 : Die Wahrscheinlichkeit p für eine Knabengeburt ist gleich der Wahrscheinlichkeit für eine
Mädchengeburt, oder formal: p = 1/2.
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