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Beobachtete Häufigkeiten
Erwartete Häufigkeiten
Status
Raucher
Nichtraucher
Summe
Raucher
Nichtraucher
Summe
Männer
a = 9
b = 31
40
6,9
33,1
40
Frauen
c = 4
d = 31
35
6,1
28,9
35
Summe
13
62
75
13
62
75
Es ist nicht erstaunlich, dass die erwarteten Häufigkeiten keine ganzen Zahlen sind. Es
handelt sich um theoretische Häufigkeiten, die aus den Randsummen berechnet werden
und zum Vergleich mit den beobachteten Häufigkeiten dienen. Von den Männern rau-
chen 22,5%, von den Frauen 11,4%. Ist der Unterschied nun so gravierend, dass man die
Nullhypothese (»Es besteht kein Zusammenhang zwischen Rauchen und Geschlecht«)
verwerfen kann? Die Prüfgröße ist nach
7
Formel (11.2):
2
75 9 31 31 4
40 35 13 62
⋅⋅−⋅
⋅ ⋅ ⋅
(
)
2
χ
=
=
15968
,
Dieser Wert ist kleiner als der kritische Wert 3,841. Das heißt: Anhand der Stichprobe ist
kein Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen nachzuweisen. Der p -Wert be-
trägt 0,2064. Die Differenz »Anteil Männer minus Anteil Frauen« beträgt 11%; das Konfi-
denzintervall ist [-0,06 ; 0,28]. Der Raucheranteil der Männer könnte also bis zu 28% über
dem der Frauen liegen; er könnte ebenso gut ein wenig geringer sein.
Einseitiges Testen Bisher wurde stillschweigend vorausgesetzt, dass beim Vierfelder-
test zweiseitig geprüft wird. Nun sind auch einseitige Fragestellungen denkbar wie
etwa: »Rauchen mehr Männer als Frauen?« (oder umgekehrt). Hier wird formal ge-
prüft, ob die Häufigkeit a signifikant größer (bzw. kleiner) ist als die unter der Nullhy-
pothese zu erwartende Häufigkeit. Einseitige Testverfahren sind bei Chi 2 -Tests aller-
dings problematisch, weil die Richtung eines Unterschieds bei der Berechnung der
Prüfgröße durch das Quadrieren der Abstände ( B-E ) eliminiert wird. Dennoch ist
beim Vierfeldertest eine einseitige Prüfung möglich, indem man als kritischen Wert
χ 1;1-2α zugrunde legt. Man geht bei diesem Ansatz davon aus, dass - grob formuliert
- unter der Nullhypothese die beobachtete Häufigkeit a mit jeweils 50%-iger Wahr-
scheinlichkeit größer bzw. kleiner ist als die zugehörige Erwartungshäufigkeit. Das
entspricht - falls die Prüfgröße größer ist als χ 1;1-2α - jeweils dem Anteil α. Ein einsei-
tiger Test ist allerdings nur dann statthaft, wenn man aufgrund von Vorkenntnissen die
Richtung eines Unterschieds genau kennt - sonst hat man eine Irrtumswahrscheinlich-
keit von 2α. Theoretisch ist dieser Test interessant; praktisch sollte man ihn meiden.
Anwendung als Mediantest Die Anwendung des Vierfeldertests ist nicht beschränkt
auf Alternativmerkmale. Schließlich lässt sich jedes quantitative oder ordinal skalierte
Merkmal zu einem Alternativmerkmal transformieren, indem die Stichprobenwerte
mit dem Gesamtmedian verglichen werden. (Theoretisch kann man auch einen ande-
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