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Wie beim Wilcoxon-Test für eine Stichprobe schwankt auch dieses R zwischen 0 und
n ( n + 1)/4. R = n ( n + 1)/4 entsteht, wenn sich die Differenzen symmetrisch um 0
verteilen. (Dann ist kein Unterschied nachweisbar.) R = 0 ergibt sich, wenn alle Diffe-
renzen größer oder alle kleiner als 0 sind.
Zu den Voraussetzungen Diese sind bei vielen praktischen Anwendungen annä-
hernd erfüllt. Bei zwei verbundenen Stichproben kann man nämlich oft davon ausge-
hen, dass die Zufallsvariablen X und Y annähernd die gleiche Verteilungsform aufwei-
sen, sodass die Differenzen symmetrisch verteilt sind. Falls die Beträge mehrerer
Differenzen übereinstimmen, bildet man verbundene Ränge.
U
-Test von Mann und Whitney
10.2.3
Siehe auch 7 Anhang, Mathematische Abhandlung 10.2.
Dieser Test stellt eine Alternative zum t -Test für zwei unverbundene Stichproben dar.
Dabei werden zwei Mediane miteinander verglichen; die Nullhypothese lautet: H 0 :
μ 1 = μ 2 . Die Stichprobenumfänge seien n 1 und n 2 ; diese müssen nicht identisch sein.
Der U -Test verlangt Zufallsvariable X und Y , die etwa die gleiche Verteilungsform
haben. Symmetrie oder gar Normalverteilung werden nicht vorausgesetzt. Insofern
basiert dieser Test auf wesentlich schwächeren Voraussetzungen als der t -Test. Er wird
folgendermaßen durchgeführt:
1.
10
Alle Werte aus beiden Stichproben werden in aufsteigender Reihenfolge sortiert
und mit Rangzahlen versehen.
2.
Danach addiert man für jede Stichprobe separat die entsprechenden Rangzahlen
und bezeichnet die Summen als R 1 bzw. R 2 . Daraus berechnet man:
Unn nn
(
+
1
)
=⋅ +
11
R
1
1
2
1
2
Unn nn
(
+
1
)
=⋅ +
22
R
(10.9)
2
1
2
2
2
3. Es lässt sich nachweisen, dass gilt: U 1 + U 2 = n 1 . n 2 .
4. Die Testgröße wird berechnet als U = min( U 1 , U 2 ).
5. Wenn U kleiner ist als der kritische Wert oder gleich diesem ( . Tab. A.4 , 7 An-
hang ), wird die Nullhypothese abgelehnt.
Die Prüfgröße U erstreckt sich zwischen 0 und n 1 . n 2 /2. Je näher U bei 0 liegt, umso
mehr unterscheiden sich die beiden Stichproben und umso eher wird die Alternativ-
hypothese angenommen.
Verbundene Ränge sind unproblematisch, wenn sie innerhalb einer Stichprobe
 
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