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10.1.4 Welch-Test
Der Welch-Test ist eine Alternative zum t -Test für zwei unverbundene Stichproben.
Die Voraussetzungen sind dahingehend abgeschwächt, dass die Gleichheit der Va-
rianzen (die sog. Homoskedazität ) der beiden Grundgesamtheiten nicht vorausge-
setzt wird. Die empirischen Stichprobenvarianzen s 1 2 und s 2 2 sind Schätzwerte für die
Varianzen der Grundgesamtheiten. Die Prüfgröße berechnet sich analog zu 7 Formel
(10.2) als:
xy
s
n
t
=
(10.6)
2
s
n
2
1
+
2
1
2
Die Anzahl der Freiheitsgrade ermittelt man nach:
(/ /)
(/) (/)
snsn
sn
n
2
+
2
2
f
=
1
1
2
2
(10.7)
2
2
sn
n
2
2
1
1
+
2
2
1
1
1
2
10
Meist wird sich mit dieser Formel keine ganze Zahl ergeben; in diesem Fall rundet man
auf die nächstkleinere ganze Zahl ab.
In vielen Situationen stellt sich die Frage, ob der t -Test oder der Welch-Test geeig-
neter ist. Da beim Welch-Test weniger Voraussetzungen zu berücksichtigen sind,
könnte man geneigt sein, diesen zu bevorzugen (etwa wenn die Varianzen der Grund-
gesamtheit unbekannt sind oder die Gleichheit aus anderen Gründen nicht angenom-
men werden kann).
Doch Vorsicht: Wenn die Bedingungen des t -Tests erfüllt sind, hat der Welch-Test
eine geringere Power. Dann kann es passieren, dass der klassische t -Test ein Ergebnis
zur Annahme der Alternativhypothese liefert, während der Welch-Test mit denselben
Daten zur Beibehaltung der Nullhypothese führt. Außerdem sollte man sich Gedan-
ken bezüglich der Interpretation des Testergebnisses machen. Beim Welch-Test wer-
den ungleiche Varianzen und damit verschiedene Verteilungsformen angenommen.
Ein Vergleich der zugehörigen Erwartungswerte erinnert an den berühmten Vergleich
zwischen Birnen und Äpfeln.
Eine sinnvollere Strategie besteht in der Regel darin, Fragestellungen zu behan-
deln, bei denen man annähernd gleichförmige Verteilungen voraussetzen darf, und
den Welch-Test nur in begründeten Ausnahmefällen zu verwenden.
i
Die Problematik, Mittelwerte zu vergleichen, ohne dass gleiche Varianzen der
Grundgesamtheiten vorausgesetzt werden, beschrieb B. L. Welch im Jahre 1937.
Dieser Test ist auch unter dem Namen » t -Test nach Satterthwaite« bekannt.
 
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