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Schließlich sei noch die Breite des Konfidenzintervalls für die Wahrscheinlich-
keit p angegeben. Aus 7 Formel (8.12) ergibt sich:
pp
n
(
1
)
1
BK
=⋅
2
z
+
(8.14)
12
α/
n
Auch diese Breite wird durch Irrtumswahrscheinlichkeit und Stichprobenumfang be-
stimmt. Um einen Mindestumfang festlegen zu können, ist zumindest eine grobe
Abschätzung der Wahrscheinlichkeit p erforderlich. Analoge Überlegungen gelten für
andere Parameter: In jedem Fall sind die Breite des Konfidenzintervalls und die Ge-
nauigkeit der Schätzung abhängig vom Stichprobenumfang n und von der Irrtums-
wahrscheinlichkeit α.
Beispiel 8.4: Konfidenzintervalle in Abhängigkeit vom Stichprobenumfang
Von 75 Studenten haben 30 (das sind 40%) die Blutgruppe 0. Daraus berechnet sich nach
7
Formel (8.12) das Konfidenzintervall (mit α = 0,05):
= [
30
75
1
150
30
/
75 45
/
75
]
±
+
196
,
0 282 0 518
,
;
,
75
Dieses Intervall hat eine Breite von 0,236; die Schätzung ist extrem unpräzise. Würde man
den 4-fachen, 20-fachen oder 100-fachen Stichprobenumfang zugrunde legen, erhielte
man (unter Annahme gleich bleibender Verhältnisse) folgende 95%-Konfidenzintervalle:
4-facher Umfang ( n = 300): [0,343 ; 0,457] Breite: 0,114
20-facher Umfang ( n = 1500): [0,375 ; 0,425] Breite: 0,050
100-facher Umfang ( n = 7500): [0,389 ; 0,411] Breite: 0,022
Wie die Überlegungen in 7 Beispiel 8.4 zeigen, sind zur Schätzung von Wahrschein-
lichkeiten hohe Stichprobenumfänge notwendig, um brauchbare Schätzwerte zu er-
halten. Andererseits muss man sich vergegenwärtigen, dass man auch mit einer großen
Stichprobe nur einen minimalen Teil der Gesamtpopulation abbildet. Dieses Phäno-
men hat nicht nur Frau Noelle-Neumann fasziniert!
Auf ein besonderes Problem sei an dieser Stelle hingewiesen: Bisher wurde
vorausgesetzt, dass die Grundgesamtheit unendlich groß ist. Wird nun eine Stichpro-
be des Umfangs n aus einer endlichen Grundgesamtheit des Umfangs N gezogen, muss
man den Standardfehler korrigieren. Diese Endlichkeitskorrektur ergibt sich aus der
Varianz der hypergeometrischen Verteilung ( 7 Abschn. 7.1.5 ): Der Standardfehler ist
mit dem Faktor
(
)/(
)
1 zu multiplizieren. Die Grenzen des Konfidenzinter-
valls für den Erwartungswert bei einer endlichen Grundgesamtheit sind demnach:
NnN
s Nn
nN
xt
±
⋅ ⋅
(8.15)
n
−−
11
;
α
/
2
 
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