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In-Depth Information
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Die Residuen y ij - y j müssen normalverteilt sein mit dem Erwartungswert 0.
4
Die Varianzen der zu den einzelnen x j -Werten gehörenden y ij sollten gleich sein. (Diese
Eigenschaft bezeichnet man als Homoskedastizität .)
Das Berechnen von Prognose- oder Konfidenzintervallen ist sinnvoll, um die Vorhersagepräzi-
sion und -verlässlichkeit zu beurteilen.
Abschließende Bemerkungen
8.4
Bedeutung des Stichprobenumfangs
8.4.1
Die Präzision einer Schätzung wird ausgedrückt durch die Breite des Konfidenzinter-
valls. Je schmaler dieses Intervall ist, desto genauer ist die Schätzung. Ein sehr breites
Konfidenzintervall ist dagegen für praktische Zwecke unbrauchbar. So beträgt die
Breite des nach 7 Formel (8.9) berechneten zweiseitigen Konfidenzintervalls für den
Erwartungswert:
8
2
t
s
n
−−
11
;
α
/
2
BK
=
(8.13)
n
Generell sind also drei Faktoren für die Präzision der Schätzung von Bedeutung
( 7 Beispiel 8.1 ):
4 Irrtumswahrscheinlichkeit α: Für α = 5% ergibt sich ein schmaleres Intervall als
für α = 1%. Ein schmales Intervall lässt sich also erreichen durch eine höhere
Irrtumswahrscheinlichkeit und damit zu Lasten der Sicherheit.
4 Standardabweichung s: Je homogener die Grundgesamtheit, desto kleiner sind
Standardabweichung und Breite des Konfidenzintervalls.
4 Stichprobenumfang n : Die Schätzung ist umso präziser, je höher der Stich-
probenumfang.
Der Anwender hat also die Möglichkeit, über den Stichprobenumfang und die Irr-
tumswahrscheinlichkeit die Breite eines Konfidenzintervalls zu beeinflussen. Wie aus
7
Formel (8.13) hervorgeht, lässt sich bei vorgegebener Breite der Mindeststichproben-
umfang berechnen - allerdings nur theoretisch. In der Praxis ist die Standardabwei-
chung σ nicht bekannt; der empirische Schätzwert s ergibt sich erst, nachdem die Da-
ten der Stichprobe vorliegen. Außerdem kann der (von n abhängige) t -Wert nicht
explizit angegeben, sondern allenfalls grob geschätzt werden (er beträgt für α = 5%
und n ≥ 10 ungefähr 2). Aus 7 Formel (8.13) ist außerdem ersichtlich, dass bei gleicher
Standardabweichung der vierfache Stichprobenumfang erforderlich ist, um die Breite
des Intervalls zu halbieren (da der Stichprobenumfang nur mit
n
in den Nenner
 
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