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Beispiel 8.2: Konfidenzintervall für eine Wahrscheinlichkeit
Der Anteil männlicher Studenten wird mit p
=40/75 = 0,53 geschätzt. Kann man davon
ausgehen, dass mehr als die Hälfte der Medizinstudenten männlich sind? Wohl kaum! Für
dass 95%-Konfidenzintervalls erhalten wir nach
ˆ
7
Formel (8.12):
40
75
1
150
40
/
75 35
/
75
±
+
196
,
. Das Intervall ist also: [0,414; 0,653].
75
Der höhere »männliche« Anteil ist offensichtlich nur zufällig bedingt. Es gab allerdings
Zeiten, in denen ein solcher Unterschied tatsächlich abgesichert werden konnte (in die
eine oder zuweilen auch die andere Richtung).
Konfidenzintervalle für Zusammenhangsmaße***
8.3.4
Die Berechnung eines Konfidenzintervalls für den Korrelationskoeffizienten nach Pearson
wird hier nicht im Detail beschrieben (zumal diese Berechnungen kaum manuell durchgeführt
werden). Der Anwender muss lediglich wissen, dass X und Y bivariabel (also zweidimen-
sional) normalverteilte Zufallsvariable sein sollten. Die Berechnung eines solchen Intervalls
ist auch für den Korrelationskoeffizienten nach Spearman bei einem Stichprobenumfang
n 10 möglich.
Beispiel 8.3: Konfidenzintervalle für Korrelationskoeffizienten
Für den Zusammenhang zwischen Körpergröße und Gewicht männlicher Studenten
ermittelten wir r = 0,5959 ( n = 40,
Beispiel 5.2). Mit einer Statistiksoftware lässt sich
folgendes 95%-Konfidenzintervall bestimmen: (0,4125 ; 0,7792). Was besagt dies?
Da beide Intervallgrenzen deutlich größer als 0 sind, können wir einigermaßen sicher
sein, dass ein gleichsinniger Zusammenhang existiert. Allerdings wissen wir nicht,
ob dieser schwach oder eher stark ist. Für die Studentinnen gilt r = 0,5333 ( n = 35);
das Konfidenzintervall ist (0,3033 ; 0,7634). Dieses ist breiter; die Schätzung ist also
unpräziser.
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Mit einer leistungsstarken Software lassen sich auch für die Steigung der Regressionsgeraden
und den y -Achsen-Abschnitt Konfidenzintervalle berechnen. Falls (wie in obigem Beispiel) X und
Y Zufallsvariablen darstellen, kann man ferner für jeden X -Wert ein Prognoseintervall für das
zugehörige Y angeben. Man spricht hier von »Regression 2. Art«.
Spezielle Voraussetzungen gelten, wenn die Werte der X -Variablen exakt vorgegeben werden
und nur die Y -Werte zufällig bedingt sind (Regression 1. Art). Dies ist beispielsweise der Fall,
wenn die Wirkung eines Medikaments Y in Abhängigkeit von der Dosis X untersucht wird. Dann
existieren zu jedem X -Wert x j mehrere Y -Werte y ij . Bei derlei Konstellationen lässt sich für jedes x j
ein Konfidenzintervall für den zugehörigen Mittelwert y j berechnen, falls folgende Vorausset-
zungen erfüllt sind:
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