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Beispiel 8.1: Konfidenzintervalle für Erwartungswerte
Körpergrößen männlicher Studenten ( n = 40):
Aus - m ± s m = (181,63 ± 6,41) ergibt sich für die Konfidenzintervalle:
[179,58 cm ; 183,68 cm] (α = 0,05) mit t 20;0,975 = 2,023
[178,89 cm ; 184,37 cm] (α = 0,01) mit t 39;0,995 = 2,708
Körpergrößen weiblicher Studenten ( n = 35):
Aus - w ± s w = (170,09 ± 5,24) berechnet man:
[168,29 cm ; 171,89 cm] (α = 0,05) mit t 34;0,975 = 2,032
[167,67 cm ; 172,51 cm] (α = 0,01) mit t 34;0,995 = 2,728
Man erkennt:
4
Die Konfidenzintervalle der Frauen sind schmaler als die der Männer. Das liegt an
der geringeren Streuung der Daten. Der Stichprobenumfang ist hier weniger
ausschlaggebend, da er nur als n in den Nenner eingeht (während die
Standardabweichung s im Zähler berücksichtigt wird).
4
Die 95%-Intervalle sind schmaler als die 99%-Intervalle. Das liegt an den t -Quan-
tilen, die für α = 0,05 betragsmäßig kleiner sind als für α = 0,01.
8
Konfidenzintervall für eine Wahrscheinlichkeit
8.3.3
Siehe auch 7 Anhang, Mathematische Abhandlung 8.3.
Als Punktschätzer für eine Wahrscheinlichkeit p dient bekanntlich eine relative
Häufigkeit:
X
n
p
=
(8.11)
Dabei bezeichnet X die Häufigkeit des Ereignisses A bei n Zufallsexperimenten. Die
Grenzen eines Konfidenzintervalls für die unbekannte Wahrscheinlichkeit p sind:
1
2
pp
n
(
1
)
p
±+ ⋅
z
(8.12)
12
α/
n
Dabei muss vorausgesetzt werden, dass n ˆ > 5 und n (1 - ˆ) > 5. Das bedeutet: Der
Stichprobenumfang darf nicht zu klein und die relativen Häufigkeiten sollten nicht zu
extrem sein. Das in 7 Formel (8.12) definierte Intervall ist vergleichbar mit dem Kon-
fidenzintervall für den Erwartungswert nach 7 Formel (8.8) : ˆ entspricht dem
Mittelwert, die Wurzel dem Standardfehler der Schätzung. Der Term 1/2 n in 7 Formel
(8.12) ist die Stetigkeitskorrektur . (Für Interessierte: Diese Korrektur ist notwendig,
weil hier die diskrete Binomialverteilung durch die stetige Normalverteilung approxi-
miert wird. Dadurch wird das Konfidenzintervall ein wenig breiter.)
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