Healthcare and Medicine Reference
In-Depth Information
terscheiden sich die Quantilen, die die beiden Intervallgrenzen bestimmen, nur be-
züglich ihres Vorzeichens. Allgemein ist ein zweiseitiges Konfidenzintervall auf dem
Niveau (1 - α) definiert durch die Intervallmitte - und die Grenzen:
σ
σ
xz
n xz
;
+
(8.8)
12
α
/
12
α
/
n
Dabei bezeichnet der Index 1 - α/2 das jeweilige Quantil der Standardnormalvertei-
lung. Für α = 5% ist z 1-α/2 = z 0,975 = 1,96.
Bei 7 Formel (8.7) und 7 Formel (8.8) wurde stillschweigend vorausgesetzt, dass die
Standardabweichung σ der Grundgesamtheit bekannt ist. Dies ist aber bei praktischen
Untersuchungen fast nie der Fall. Man könnte notgedrungen σ durch die empirische
Standardabweichung s ersetzen. Dies würde aber insbesondere bei kleinen Stichpro-
ben - die in den Biowissenschaften eher die Regel als die Ausnahme sind - zu einer
weiteren Ungenauigkeit der Schätzung führen.
Vor diesem Problem stand Sealy Gosset, als er zu Beginn des 20. Jahrhunderts
Mittelwerte für Bier-Ingredenzien schätzen wollte und dabei nur auf kleine Stichpro-
ben zurückgreifen konnte. Dies war die Ausgangssituation für die Entwicklung der
t -Verteilung. Wenn die Zufallsvariable X normalverteilt ist, lassen sich die Standard-
abweichung σ und die Quantilen der Standardnormalverteilung in 7 Formel (8.8)
durch s bzw. die entsprechenden t -Werte ersetzen, und man erhält folgendes Konfi-
denzintervall:
t
s
t
s
n
−−
11
;
α
/
2
n
−−
11
;
α
/
2
x
;
x
+
(8.9)
n
n
Ohne geeignete Software müssen die Quantilen t n -1;1-α/2 in Tabellen nachgeschlagen
werden ( . Tab. A.2 im 7 Anhang ). Der Faktor s /
n
in 7 Formel (8.9) ist eine Schätzung
für den Standardfehler des Mittelwerts σ/
. Es sind auch einseitige Konfidenzin-
tervalle konstruierbar, die an einer Seite offen sind (hier ist nur die obere bzw. nur die
untere Grenze interessant):
n
t
s
t
s
n
−−
11
;
α
n
−−
11
;
α
(;
−∞ +
x
]
oder
[
x
;
+∞
)
(8.10)
n
n
i
Der Ausdruck t n -1;1-α/2 ist für Anfänger gewöhnungsbedürftig. Die beiden Anga-
ben im Index sind notwendig, um den speziellen t -Wert exakt zu kennzeichnen.
Der Index f = n - 1 bezeichnet die Anzahl der Freiheitsgrade (es gibt nämlich für
jedes f eine spezielle t -Verteilung), 1 - α/2 gibt das Quantil an.
Search Pocayo ::




Custom Search