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Mit der Wahrscheinlichkeit 1 - α erhält man ein Intervall, das den unbekannten
Parameter enthält. Der Wert 1 - α wird als Konfidenzwahrscheinlichkeit (oder
Konfidenzniveau ) bezeichnet. Für die Irrtumswahrscheinlichkeit α = 5% beträgt
die Konfidenzwahrscheinlichkeit 1 - α = 95%.
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Mit der Wahrscheinlichkeit α erhält man ein Intervall, das den unbekannten
Parameter nicht enthält.
Das Konfidenzintervall selbst liefert leider keinen Anhaltspunkt dafür, welche die-
ser beiden Möglichkeiten eingetreten ist. Es ist deshalb immer notwendig und wichtig,
die Irrtumswahrscheinlichkeit α mit anzugeben. - In den folgenden Abschnitten
wird anhand mehrerer Beispiele das Konstruktionsprinzip eines Konfidenzintervalls
erläutert.
Konfidenzintervalle für einen Erwartungswert
8.3.2
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Siehe auch 7 Anhang, Mathematische Abhandlung 8.2.
Der Erwartungswert ist bei quantitativen Daten in der Regel der wichtigste Para-
meter. Er wird über den Mittelwert - geschätzt. Ein Konfidenzintervall auf dem Ni-
veau 1 - α = 95% ist gegeben durch:
196
,
σ
1 96
,
σ
x
;
x
+
(8.7)
n
n
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Erwartungswert, der kleiner als die linke oder größer
als die rechte Intervallgrenze ist, zu - geführt hat, beträgt jeweils 2,5% - also insgesamt
α = 5%.
!
Cave
Die plausibel klingende und häufig verwendete Aussage »Der Erwartungs-
wert μ liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% innerhalb des Konfi-
denzintervalls« ist irreführend. Der Erwartungswert ist zwar unbekannt -
er ist jedoch eine feste Größe und nicht vom Zufall abhängig. Dagegen ist
das Konfidenzintervall abhängig von der Stichprobe und deshalb vom
Zufall mitbestimmt. Eine korrekte Formulierung lautet: »Man erhält mit
einer Wahrscheinlichkeit von 95% ein Konfidenzintervall, das den unbe-
kannten Erwartungswert μ überdeckt.«
Bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von α = 1% ist der Wert 1,96 in 7 Formel (8.7)
durch 2,58 zu ersetzen. Theoretisch ist natürlich jede beliebige Irrtumswahrschein-
lichkeit denkbar; die Quantilen der Standardnormalverteilung sind dementsprechend
anzugleichen ( . Tab. A.1 im 7 Anhang ). Wegen der Symmetrie dieser Verteilung un-
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