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Die Schätzung ist also erwartungstreu. Die Konsistenz ergibt sich aus dem Gesetz der großen
Zahlen.
Parameter der bivariablen Statistik: Die Schätzung der Kovarianz ist erwartungstreu und
konsistent, ebenso die Schätzung der Parameter der Regressionsgeraden. Die Schätzfunktion
für den Pearson'schen Korrelationskoeffizient ist dagegen nicht erwartungstreu, wohl aber
konsistent.
Intervallschätzungen
8.3
Bedeutung eines Konfidenzintervalls
8.3.1
Wie wir wissen, haben die gängigen Schätzverfahren günstige Eigenschaften, und wir
wenden sie an in der Hoffnung, einen brauchbaren Schätzwert zu erhalten. Dennoch
sind diese Punktschätzungen in gewisser Weise unbefriedigend. Ein einzelner Schätz-
wert enthält nämlich keine Information darüber, wie sehr er vom »wahren« Parameter
der Grundgesamtheit abweicht. Prinzipiell kann man darüber auch keine exakten
Angaben machen, da der gesuchte Parameter letztlich unbekannt ist. Wir dürfen je-
doch bei einem geeigneten Schätzverfahren vermuten, dass er sich in der näheren
Umgebung des Schätzwertes befindet. In diesem Abschnitt geht es nun darum, diesen
unscharfen Ausdruck »nähere Umgebung« zu präzisieren.
In 7 Beispiel 4.1 wurde für 40 männliche Medizinstudenten eine mittlere Körper-
größe - m = 181,63 cm berechnet. Wenn wir diese Gruppe als eine Stichprobe auffas-
sen, dann ist der Mittelwert eine Schätzung für den Erwartungswert der Grundge-
samtheit. Wir wissen, dass dieser Mittelwert zufallsbedingt ist. Eine andere Stichprobe
des Umfangs n = 40 würde andere Daten und damit einen anderen Mittelwert liefern.
Die konkrete Frage, die sich nun stellt, lautet: Welcher Erwartungswert μ könnte
dem besagten Mittelwert zugrunde liegen? Es erscheint durchaus möglich, dass er aus
einer Grundgesamtheit mit μ = 180 cm oder mit μ = 182 cm resultiert. Wir glauben
jedoch nicht, dass der wahre Parameter nur μ = 175 cm beträgt - obwohl sich auch
diese Möglichkeit nicht ganz ausschließen lässt.
Um Anhaltspunkte bezüglich der Genauigkeit der Schätzung zu gewinnen, kons-
truiert man nach einem speziellen mathematischen Algorithmus aus den Daten der
Stichprobe ein sog. Konfidenzintervall (einen Vertrauensbereich ). Man hofft, bei
diesem Verfahren ein Intervall zu erhalten, das den gesuchten Parameter überdeckt.
Es ist allerdings möglich, dass die Daten der Stichprobe ein Konfidenzintervall erzeu-
gen, das »daneben liegt« und den gesuchten Parameter nicht enthält. Die entsprechen-
de Irrtumswahrscheinlichkeit wird vor der Bestimmung des Konfidenzintervalls
festgelegt. Sie wird mit α bezeichnet und beträgt üblicherweise 5%, in besonderen
Fällen auch 1 oder 0,1%. Generell gibt es bei der Konstruktion eines Konfidenzinter-
valls also zwei Möglichkeiten:
 
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