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Spezielle Schätzfunktionen***
8.2.3
Erwartungswert: Wir wollen die oben genannten Kriterien zunächst an dem wohl bekanntesten
Parameter überprüfen und betrachten dazu den Mittelwert - einer Stichprobe, der den Erwar-
tungswert μ der Grundgesamtheit schätzt. Wir wissen durch das Gesetz der großen Zahlen
(
7 Abschn. 6.4.2), dass gilt:
2
σ
EX
()
=
μ
und Var
()
X
=
→∞
0
n
n
Demnach ist diese Schätzung erwartungstreu und konsistent. Sie ist auch exhaustiv, da alle Ori-
ginalwerte x i bei der Schätzung berücksichtigt werden.
Median: Etwas komplizierter liegen die Dinge beim empirischen Median. Man kann zeigen: Falls
die Verteilung stetig und symmetrisch ist (z. B. die Normalverteilung), ist ˜ ein erwartungstreuer
Schätzer für ˜ .. Da aber in diesem Fall Erwartungswert und Median übereinstimmen, ist auch der
empirische Median ein erwartungstreuer Schätzer für den Erwartungswert μ. Für die Varianz des
Medians gilt (dies sei ohne Beweis angeführt):
8
2
πσ
2
X
(8.2)
Var(
)
=⋅
→∞
0
n
n
Somit ist ˜ auch eine konsistente Schätzung für μ. Allerdings ist die Varianz von ˜ größer als die
Varianz von - ; deshalb ist der Mittelwert der effizientere Schätzer für μ. Die Schätzung durch ˜
ist nicht erschöpfend, weil nicht alle Stichprobenwerte in dessen Berechnung einfließen. Der
Mittelwert hat also im Vergleich zum empirischen Median die günstigeren Schätzeigenschaften.
Varianz: Die daraus berechnete Standardabweichung ist bei quantitativen Merkmalen das am häu-
figsten benutzte Streuungsmaß. Die Varianz wird bekanntlich nach folgender Vorschrift geschätzt:
n
(
XX
)
2
i
(8.3)
2
i
1
S
=
n
1
Wie sich nachweisen lässt (siehe auch
7
Anhang, Mathematische Abhandlung 8.1), gilt:
2
2
E ()
(8.4)
4
2
σ
2
(8.5)
Var( S
)
=
→∞
0
n
1
n
Demnach ist diese Schätzung erwartungstreu, konsistent und exhaustiv. Die Schätzung der Stan-
dardabweichung σ durch S ist zwar konsistent, aber merkwürdigerweise nicht erwartungstreu.
Wahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit p wird über eine relative Häufigkeit geschätzt. Mit
Zufallsvariablen X i ~ B (1, p ) ergibt sich für den Erwartungswert:
n
n
1
np
n
(8.6)
EXn n EX
(
/
)
=
(
)
=
=
p
i
i
i
=
1
i
=
1
 
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