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Schätzfunktion (oder der Schätzer ) ist eine Vorschrift, nach der aus den Daten einer
Stichprobe des Umfangs n ein angenäherter Wert für den unbekannten Parameter der
Grundgesamtheit berechnet wird. So lautet z. B. die Schätzfunktion für den Erwar-
tungswert:
n
= 1
X
i
i
X
(8.1)
n
Die Werte, die die Schätzfunktion annehmen kann, nennt man Schätzwerte .
Kriterien zur Güte einer Schätzung***
8.2.2
Die oben erwähnten Punktschätzungen sind nicht so selbstverständlich, wie es auf den ersten
Blick scheinen mag. Niemand bezweifelt zwar, dass der Erwartungswert durch den Mittelwert
optimal geschätzt wird. Was aber spricht dagegen, bei symmetrischen Verteilungen den Erwar-
tungswert durch den empirischen Median zu schätzen - zumal dies mit weniger Rechenauf-
wand verbunden wäre? Außerdem ist bisher nicht eindeutig geklärt, weshalb bei der empiri-
schen Varianz oder der Kovarianz durch n - 1 dividiert wird (und nicht durch den Stichproben-
umfang n ).
Um diese Fragen zu beantworten, bedarf es objektiver und nachprüfbarer Eigenschaften, nach
denen sich die Güte einer Schätzung beurteilen lässt. Hierzu orientiert man sich an den folgen-
den vier Kriterien, die Sir Ronald Aylmer Fisher aufgestellt hat:
4
Erwartungstreue: Man kann nicht erwarten, dass eine einzelne Stichprobenkenngröße
den unbekannten Parameter exakt wiedergibt. Allerdings sollte die Schätzvorschrift nicht
systematisch einen zu hohen oder zu niedrigen Wert liefern. Das Kriterium der Erwartungs-
treue fordert daher, dass der Durchschnitt (oder genauer: der Erwartungswert) aller theore-
tisch denkbaren Schätzwerte aus Stichproben des Umfangs n mit dem unbekannten Para-
meter übereinstimmt. Eine erwartungstreue Schätzung heißt unverzerrt (oder »unbiased«).
4
Konsistenz: Außerdem ist es plausibel, von einem guten Schätzer Folgendes zu verlangen:
Je größer der Stichprobenumfang n , desto genauer sollte die Schätzung sein. Ein Schätzer
ist immer dann konsistent, wenn dessen Varianz für große n gegen 0 geht.
4
Effizienz: Die Varianz des Schätzers sollte möglichst gering sein. Je geringer sie ist, desto
präziser ist die Schätzung. Eine hohe Effizienz bedeutet, dass auch eine kleine Stichprobe
einen brauchbaren Schätzwert liefert. Die Effizienz ist insbesondere dann ein wichtiges
Kriterium, wenn man verschiedene Schätzverfahren vergleicht.
4
Exhaustivität: Ein Schätzer ist exhaustiv (oder erschöpfend), wenn er alle Informationen,
die in den Daten einer Stichprobe enthalten sind, berücksichtigt.
Alle diese Forderungen scheinen plausibel und wünschenswert zu sein; wir werden jedoch se-
hen, dass sie nicht unbedingt bei allen bekannten Schätzfunktionen erfüllt sind.
 
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