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Abb. 7.6 Dichtefunktionen von Chi 2 -Verteilungen mit unterschiedlicher Anzahl von Frei-
heitsgraden n
.
2
n
X i
μ
2
(7.42)
χ
n
σ
i
1
Wenn wir in diesem Ausdruck den Erwartungswert μ durch die Variable - ersetzen, erhalten wir
eine χ 2 -Verteilung mit n - 1 Freiheitsgraden, da die X i wegen des Mittelwerts - einer einschrän-
kenden Bedingung unterliegen. Daraus folgt:
2
n
2
XX n S
i
=
(
−⋅
1
)
χ
2
(7.43)
n
1
2
σ
σ
i
=
1
Der Erwartungswert dieser Variablen ist n - 1, die Varianz beträgt 2( n - 1). Diese Eigenschaften
sind fundamental für die Schätzung der Varianz aus einer Stichprobe vom Umfang n . Wichtige
Quantile findet man im
7
Anhang (
.
Tab. A.5).
Die Chi 2 -Verteilung verdanken wir Forschungen auf dem Gebiet der Astronomie.
Sie geht einerseits zurück auf den Physiker und Astronomen Ernst Abbe (1840-
1905), der sie erstmals 1863 erwähnte. Abbe war Professor an der Universität in
Jena und Direktor der dortigen Sternwarte. Unabhängig von Abbe entdeckte an-
dererseits der Astronom und Mathematiker Friedrich Robert Helmert (1843-1917)
die Chi 2 -Verteilung. Diese geriet dann in Vergessenheit, bis sie von Karl Pearson
Jahre später wiederentdeckt wurde und seither vielfältige Anwendung bei den
Verfahren der induktiven Statistik findet.
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