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Erwartungswert μ und der Varianz σ 2 sind. Die t -Verteilung hat ähnliche Eigenschaften wie die
Standardnormalverteilung:
4
Sie ist symmetrisch um 0, stetig und glockenförmig.
4
Sie ist für alle Werte zwischen -∞ und +∞ definiert.
4
Der Erwartungswert ist 0.
Es gibt allerdings zwei wesentliche Unterschiede:
4
Die t -Verteilung ist nicht direkt abhängig von σ (sondern nur von s ).
Sie ist aber abhängig vom Parameter f (das ist die Anzahl der Freiheitsgrade ). Die t -Vertei-
lung hat f = n - 1 Freiheitsgrade, weil in die Berechnung der t -Größe n Beobachtungen ein-
fließen, die (durch die Vorgabe des Mittelwertes - ) einer einschränkenden Bedingung un-
terliegen.
4
Es existiert also für jeden Freiheitsgrad f eine spezielle t -Verteilung. Die Varianz beträgt f /( f - 2)
für alle f 3 und ist damit größer als 1. Demzufolge hat die t -Verteilung für kleine Freiheitsgrade
einen flacheren Verlauf als die Standardnormalverteilung. Für hohe Werte von f geht sie in die
Normalverteilung über.
Die t -Verteilung spielt eine wichtige Rolle bei der Schätzung und dem Vergleich von Lagemaßen
(
7
Kap. 8 bis
7
Kap. 10). Einige Quantile, die für Schätz- und Testverfahren wichtig sind, sind im
7
Anhang (
.
Tab. A.2) aufgelistet.
i Gosset war eigentlich als Chemiker bei der bekannten Bierbrauerei Guinness ange-
stellt und betrieb Statistik als Hobby. Weil er als Angestellter seiner Firma nicht un-
ter seinem Namen veröffentlichen wollte, benutzte er das Pseudonym »Student«.
Chi 2 -Verteilung***
7.4.2
Die Chi 2 -Verteilung (sprich: Chi-Quadrat; auch mit griech. Buchstaben χ 2 geschrieben) ist wich-
tig, wenn man statistische Tests zum Vergleich von Häufigkeiten durchführt (
Kap. 11). Sie be-
schreibt in ihrer einfachsten Form die Verteilung des Quadrats einer standardnormalverteilten
Zufallsvariablen Z ~ N (0,1). Für den Erwartungswert von χ 1 2 = Z 2 gilt:
EZ
7
2
=
Var
Z
+
(
EZ
)
2
=
1
(7.41)
Diese Gleichung leitet man aus der Definition der Varianz nach
7
Formel (6.26) her, indem man
X durch Z ersetzt.
Falls nun mehrere Variablen Z 1 , …, Z n unabhängig voneinander nach N (0,1) verteilt sind, ist de-
ren Quadratsumme Σ z i 2 , χ 2 -verteilt mit n Freiheitsgraden oder (anders ausgedrückt): χ n 2 -verteilt.
Wegen
Formel (7.41) ist der Erwartungswert dieser Zufallsvariablen gleich n , die Varianz be-
trägt 2 n und die Schiefe
7
/ n . Die χ n 2 -Verteilung ist also immer linksgipflig (
γ
=
8
.
Abb. 7.6).
1
Mit wachsendem n nähert sie sich einer Normalverteilung.
Wir betrachten nun n unabhängige, normalverteilte Variablen X i ~ N (μ, σ 2 ). Dann sind die
( X i - μ)/σ standardnormalverteilt, und demnach gilt für deren Quadratsumme:
6
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