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γ
Ft e t
−⋅
λ
St PX t
()
=
(
> = −
)
1
()
=
(7.36)
γ
t e t
(
γ
1
)
− ⋅
λ
ft Ft
()
=
()
=
λγ
(7.37)
Daraus ergibt sich für die momentane Sterberate:
ft
St
()
()
γ
1
(7.38)
rt
()
=
=
λγ
t
Nun lassen sich drei Fälle unterscheiden:
4
Sterberate konstant (γ = 1): Dieser Spezialfall ist die Exponentialverteilung mit r ( t ) = λ.
Sterberate monoton wachsend (γ > 1): Eine Weibull-Verteilung mit γ > 1 ist geeignet, ein
Überleben mit Altern zu beschreiben.
4
Sterberate monoton fallend (0 < γ < 1): Diese Verteilung beschreibt ein Überleben mit Re-
generation, bei dem mit wachsendem Alter die Sterberate abnimmt.
4
Den Median einer Weibull-Verteilung berechnet man, indem man die Gleichung F ( ˜ ) = 0,5 auf-
löst; aus 7 Formel (7.35) ergibt sich unter Anwendung elementarer Rechenregeln:
1
/
γ
=
ln
2
(7.39)
μ
λ
Dieser Parameter gibt an, nach welcher Zeit die Hälfte der Beobachtungseinheiten verstorben
ist.
i
Die Berechnung anderer Parameter (Erwartungswert, Varianz) erfordert die Kennt-
nis einer speziellen Funktion (Gamma-Funktion). Ausführliche Informationen zu
diesem Thema findet man in Hartung et al. (2009;
7
Anhang).
.
Tab. 7.3 fasst wichtige Informationen zu den stetigen Verteilungen in einer Übersicht
zusammen. (Einen entsprechenden Überblick über die diskreten Verteilungen findet
man in . Tab. 7.1 .)
Prüfverteilungen
7.4
Wir wissen, dass nicht nur einzelne Messwerte x i , sondern auch statistische Kennwer-
te wie etwa der Mittelwert - oder die empirische Standardabweichung s dem Zufall
unterliegen und sich damit als Realisierungen einer Zufallsvariablen - bzw. S auffassen
lassen. Prüfverteilungen dienen dazu, die Verteilung statistischer Kenngrößen zu be-
schreiben.
Die Prüfverteilungen bilden die Grundlage für die Methoden der induktiven Sta-
tistik. Deren Anwendung setzt zwar nicht unbedingt spezielle Kenntnisse bezüglich
 
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