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1
(7.33)
μ
=
λ
1
2
(7.34 )
σ
=
λ
2
Der Median der Exponentialverteilung entspricht der Halbwertszeit - das ist die Zeit, in der sich
die Ausgangsmenge halbiert.
Diese Maßzahlen sind umso größer, je kleiner die momentane Sterberate λ ist. Die Schiefe be-
trägt grundsätzlich 2 - demnach ist die Exponentialverteilung linksgipflig.
Beispiel 7.12: Exponentialverteilung
Unter Exposition mit einem bestimmten Risikofaktor sterben pro Jahr 20 von 1000 Perso-
nen. Nach
Formel (7.27) ist dann die Wahrscheinlichkeit, 1 Jahr zu überleben: S (1) = e
= 0,98. Daraus ergeben sich (unter der Annahme, dass die Sterberate konstant bleibt):
λ = -ln(0,98) = 0,0202; ˜ = 34,3 [nach
7
7
7
Formel (7.32)] und μ = 49,5 [nach
7
Formel
(7.33)].
Ein anderes Beispiel: Die mittlere Lebensdauer von Neugeborenen mit einem Gendefekt
betrage 20 Jahre. Nach
Formel (7.27) lässt sich für
einen Betroffenen die Wahrscheinlichkeit berechnen, eine bestimmte Zeitspanne zu
überleben, etwa:
S (10) = 0,61; S (20) = 0,37; S (30) = 0,22.
7
Formel (7.33) ist also λ = 0,05. Mit
7
i Die 7 Formel (7.32) für den Median erhält man, indem man die Funktion F ( ˜ ) = 0,5
in 7 Formel (7.28) nach ˜ auflöst. Erwartungswert, Varianz und Schiefe ergeben
sich durch aufwendige Integralrechnungen.
Weibull-Verteilung***
7.3.3
Die Weibull-Verteilung ist nach dem schwedischen Ingenieur Waloddi Weibull (1887-1979) be-
nannt, der damit die Bruchfestigkeit von Werkzeugen beschrieb. Im medizinischen Umfeld dient
sie hauptsächlich zur Analyse von Überlebenszeiten. Eine Zufallsvariable T heißt Weibull-verteilt
mit den Parametern λ gilt: 0 und γ gilt: 0 , wenn für ihre Verteilungsfunktion gilt:
γ f r
Ft
()=−
1
e
−⋅
λ
t
t
>
0
(7.35)
Durch die beiden Parameter λ (lambda) und γ (gamma) ist die Verteilung eindeutig festgelegt;
man schreibt: T ~ WB (λ, γ). Im Vergleich mit
7 Formel (7.28) wird deutlich, dass die Weibull-Ver-
teilung eine Verallgemeinerung der Exponentialverteilung darstellt. Durch den zusätzlichen Pa-
rameter γ ist sie wesentlich flexibler; Dichte- und Überlebensfunktion sowie die Parameter sind
allerdings erheblich komplizierter zu berechnen. Aus der
7 Verteilungsfunktion (7.35) leitet man
für die Überlebenswahrscheinlichkeit und die Dichte her:
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