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Dabei ist f ( t ) die Dichtefunktion der Variablen T . Die momentane Sterberate kann für jeden Zeit-
punkt t im Beobachtungszeitraum angegeben werden. In der mathematischen Herleitung 7.4
im
7 Anhang wird gezeigt, dass dieses etwas seltsam anmutende Maß tatsächlich geeignet ist,
die momentane Sterberate zu quantifizieren.
Exponentialverteilung***
7.3.2
Im einfachsten Fall lässt sich die Überlebensfunktion modellieren als (wobei λ > 0, λ = griech.
Buchstabe lambda):
St PT t e t
()
=>= −λ
(
)
(7.27)
Die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Individuum vor dem Zeitpunkt t stirbt, ist demnach:
Ft
()
=− =
1
St PT t
()
(
≤ =−
)
1
e t
λ
(7.28)
Eine solche Zufallsvariable T nennt man exponentialverteilt: T ~ Exp (λ). Für die Dichtefunktion
ergibt sich:
ft Ft e t
()
=
()
=
λ
λ
(7.29)
Die Exponentialverteilung hat einige bemerkenswerte Eigenschaften. Für die bedingte Überle-
benswahrscheinlichkeit folgt mit
7
Formel (7.27):
−+
λ
(
t
Δ
t
)
e
PT t
(
>+
Δ
t T t
|
> =
)
=
e
−⋅
λ
Δ
t
(7.30)
λ
t
e
Die Wahrscheinlichkeit, noch eine Zeitspanne der Länge Δ t zu leben, ist also unabhängig vom
Alter (von der Überlebenszeit t ). Deshalb wird die Exponentialverteilung auch gedächtnislose
Verteilung genannt. Wegen dieser Eigenschaft ist die Sterberate über die Zeit konstant; mit
7
Formel (7.26),
7
Formel (7.27) und
7
Formel (7.29) berechnet man nämlich:
λ
λ
t
ft
St
()
()
λ
e
e
rt
()
=
=
=
λ
(7.31)
t
Deshalb eignet sich die Exponentialverteilung zur Beschreibung von Lebensdauern nichtaltern-
der Objekte oder von Überlebenszeiten bei Individuen, deren Tod unabhängig vom aktuellen
Alter eintritt (
Beispiel 7.12). Typische Beispiele sind die Lebensdauern radioaktiver Teilchen
oder das Überleben nach einer schweren Erkrankung mit kurzer Lebenserwartung. Weitere
wichtige Kenngrößen sind der Median ˜ (bei Überlebenszeitstudien auch mediane Überlebens-
zeit genannt), der Erwartungswert μ (auch mittlere Lebensdauer genannt) und die Varianz σ 2 :
7
1
μ
=⋅
ln
2
(7.32)
 
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