Healthcare and Medicine Reference
In-Depth Information
asymptotisch standardnormalverteilt. Daraus ergeben sich unmittelbar einige wichtige Konse-
quenzen bezüglich der
4
Verteilung von Zufallsvariablen
4
Verteilung von Mittelwerten
4
Binomialverteilung
Verteilung von Zufallsvariablen: Der zentrale Grenzwertsatz rechtfertigt die Annahme, dass
eine Zufallsvariable normalverteilt ist, wenn zahlreiche Einflüsse additiv und unabhängig vonei-
nander zusammenwirken. Aus diesem Grund sind beispielsweise Messfehler normalverteilt. Carl
Friedrich Gauß hat dies bereits im Jahre 1794 erkannt und beschrieben; deshalb wird die Normal-
verteilung ihm zu Ehren auch Gauß-Verteilung genannt.
Verteilung von Mittelwerten: Wie aus dem Gesetz der großen Zahlen (7 Abschn. 6.4.2) hervor-
geht, hat die Gesamtheit aller theoretisch denkbaren Mittelwerte, die aus Stichproben des Um-
fangs n derselben Grundgesamtheit resultieren, den Erwartungswert μ und die Varianz σ 2 / n .
Aus dem zentralen Grenzwertsatz folgt nun, dass - falls der Stichprobenumfang n hinreichend
groß ist (etwa n 25) - diese Mittelwerte normalverteilt sind (auch wenn die Grundgesamtheit
nicht normalverteilt ist). Diese Aussage hat weitreichende Folgen für die Methoden der indukti-
ven Statistik (
7
7 Beispiel 7.11).
Binomialverteilung: Eine binomialverteilte Zufallsvariable X ~ B ( n, p ) lässt sich auffassen als
die Summe von n identisch verteilten, unabhängigen Variablen X i , die jeweils die Werte 1 oder
0 (mit den Wahrscheinlichkeiten p bzw. q = 1 - p ) annehmen können. Nach dem zentralen
Grenzwertsatz lassen sich eine Binomialverteilung sowie eine Poisson-Verteilung für ein hin-
reichend großes n durch eine Normalverteilung X mit dem Erwartungswert μ = np und der
Varianz σ 2 = npq approximieren. Als Faustregel gilt, dass dazu die Ungleichung npq 9 erfüllt
sein muss.
Beispiel 7.11: Verteilung von Mittelwerten
Das Körpergewicht weiblicher Studenten habe einen Erwartungswert von μ = 60 kg und
eine Standardabweichung von σ = 6,5 kg. Wir führen nun folgendes Gedankenexperi-
ment durch:
Aus der Grundgesamtheit werden mehrere zufällige Stichproben vom Umfang n = 30
entnommen, und jeweils der Mittelwert wird bestimmt. Nach dem zentralen Grenzwert-
satz sind diese Mittelwerte normalverteilt mit einem Erwartungswert von μ - = 60 kg und
einer Standardabweichung von
σ x =
65
,
/
30
kg
=
1,19 kg . Wegen der Normalverteilung
der - definieren
μ
±⋅
196
,
σ
=±⋅
(
60
196 119
,
,
) kg einen 95%-Referenzbereich, das heißt:
x
x
P (57,7 kg - 62,3 kg) = 0,95.
Man wird also bei einer Stichprobe des Umfangs n = 30 mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit
einen Mittelwert zwischen 57,7 und 62,3 kg erhalten; die Wahrscheinlichkeiten, dass der
Mittelwert kleiner ist als 57,7 oder größer als 62,3 kg, betragen jeweils 2,5%.
i
Den Zusammenhang zwischen Binomial- und Normalverteilung erkannte der fran-
zösische Mathematiker Abraham de Moivre (1667-1754) im Jahre 1718 und be-
 
Search Pocayo ::




Custom Search