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Beispiel 7.10: Lognormalverteilung
In einer Population von Kleinkindern werden Konzentrationswerte von Serum-IgM in g/l
gemessen. Die Originalwerte X haben folgende Kenngrößen:
- = 0,8; ˜ = 0,7; s x = 0,49; g x = 2,6; x min = 0,1; x max = 4,2.
Aufgrund der Schiefe g x ist davon auszugehen, dass diese Daten linksgipflig (rechts-
schief ) verteilt sind. Durch Logarithmieren der x -Werte erhält man eine Zufallsvariable Y
mit folgenden Kenngrößen:
- = -0,37; ˜ = -0,36; s y = 0,56; g y = -0,34; y min = -2,303; y max = 1,435.
Aufgrund der Schiefe g y (die nahe bei 0 liegt) und der Tatsache, dass Mittelwert und Me-
dian ähnlich sind, darf man annehmen, dass Y normalverteilt ist mit dem Erwartungswert
μ Y = -0,37 und der Standardabweichung σ y = 0,56. Dann ergibt sich für den Median und
das geometrische Mittel von X : ˜ x = e -0,37 = 0,69 g/l.
Für den 95%-Referenzbereich von Y berechnet man folgende Grenzwerte:
y 1 = μ - 1,96σ = -0,37 - 1,96 . 0,56 = - 1,47 und y 2 = μ + 1,96σ = -0,37 + 1,96 . 0,56 = 0,73
Innerhalb der Grenzen x 1 = e -1,47 = 0,23 g/l und x 2 = e 0,73 = 2,07 g/l liegen demnach 95%
aller IgM-Werte. Nur 2,5% sind kleiner als 0,23 g/l und 2,5% sind größer als 2,07 g/l.
Weit seltener beobachtet man in den Biowissenschaften rechtsgipflige (linksschiefe) Verteilun-
gen. Sie zeichnen sich aus durch einen langen Anlauf links und einen Gipfel am rechten Rand
(
Abb. 4.1c). Ihre Schiefe ist kleiner als 0. Bei diesen Verteilungen ist der untere Wertebereich
gestreckt, während nach oben eine natürliche Grenze existiert. Beispiele sind die Schwanger-
schaftsdauer oder der Kopfumfang von Neugeborenen. Eine Normalisierung dieser Verteilun-
gen erreicht man durch eine Potenztransformation wie z. B.:
.
YX
=
1,
(7.23)
Dadurch wird der Gipfel am rechten Rand in die Breite gezogen. Bei besonders stark ausgepräg-
ter Rechtsgipfligkeit potenziert man mit einem höheren Wert.
Zentraler Grenzwertsatz***
7.2.5
Der zentrale Grenzwertsatz sagt aus, dass - unter sehr allgemeinen Bedingungen - die Summe
einer großen Anzahl von Zufallsvariablen normalverteilt ist. Mathematisch präzise formuliert
lautet dieser Satz: Seien X i ( i = 1, , n ) unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen mit dem
Erwartungswert μ und der Varianz σ 2 . Dann ist die Summe der X i asymptotisch normalverteilt
mit dem Erwartungswert n . μ und der Varianz n . σ 2 . Dann ist also die Variable
n
1
Xn
−⋅
μ
i
X
μ
i
Z
=
=
n
 
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