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Standardnormalverteilung
7.2.2
Die Standardnormalverteilung ist eine spezielle Normalverteilung mit dem Erwar-
tungswert 0 und der Varianz 1. Jede normalverteilte Zufallsvariable X ~ N (μ, σ 2 ) lässt
sich in die Standardnormalverteilung Z ~ N (0,1) transformieren durch:
X
−μ
σ
Z
=
(7.19)
Durch diese Transformation wird die Glockenkurve entlang der x -Achse so verscho-
ben, dass der Erwartungswert 0 wird. Außerdem wird die Kurve aufgrund der Divi-
sion durch σ in ihrer Form so angepasst, dass die Standardabweichung den Wert 1
annimmt. Wozu kann eine solche Transformation sinnvoll sein?
4
Wie bereits in 7 Abschn. 4.3.1 ( z -Transformation; 7 Formel 4.9 ) erwähnt, lassen
sich transformierte Werte bezüglich ihrer relativen Lage zum Erwartungswert
besser einschätzen. So besagt beispielsweise ein einzelner Messwert des Körper-
gewichts von x i = 52 kg allein nichts darüber aus, ob dieser Wert als normal,
hoch oder niedrig einzustufen ist. Wenn jedoch bekannt ist, dass dieser Wert aus
einer Population mit μ = 60 kg und σ = 6,5 kg stammt, kann x i in z i = (52 - 60)/
6,5 = -1,23 transformiert werden. Aus z i geht nun hervor, dass der Messwert x i
um 1,23 Standardabweichungen unterhalb des Erwartungswertes liegt.
4
Um eine bestimmte Wahrscheinlichkeit für eine normalverteilte Zufallsvariable
nach 7 Formel (7.18) zu berechnen, ist man ohne geeignete Statistiksoftware auf
Tabellen angewiesen, in denen die Funktionswerte der Dichte- und der Vertei-
lungsfunktion aufgelistet sind (und die auch heute noch in quasi jedem Statistik-
buch zu finden sind). Diesen Tabellen liegt generell die Standardnormalvertei-
lung zugrunde.
Dichte und Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung werden üblicher-
weise mit φ( z ) und Φ( z ) bezeichnet. Die griechischen Buchstaben φ (phi) und Φ (Phi)
entsprechen den lateinischen Buchstaben f bzw. F . ( . Tab. A.1 ) Im 7 Anhang dieses
Buches sind diverse z -Perzentile zusammen mit den Funktionswerten φ( z ) und Φ( z )
aufgelistet.
i Eine Tabelle mit Funktionswerten der Standardnormalverteilung wurde erstmals
1812 von Laplace in »Théorie Analytique des Probabilités« publiziert. Ihr Umgang
erfordert einige Übung, da man die gesuchten Werte nicht immer direkt ablesen
kann. Aus Platzgründen enthalten derlei Tabellen nämlich im Allgemeinen nur
Funktionswerte für z ≥ 0. Dann gilt für negative Werte (- z ): Φ(- z ) = P ( Z ≤ - z ) =
P ( Z z ) = 1 - Φ( z ) aufgrund der Symmetrie der Glockenkurve. Heutzutage lassen
sich jedoch mit einer geeigneten Software derlei Wahrscheinlichkeiten für jede
beliebige Normalverteilung leicht ermitteln.
 
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