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n M
N
(7.15)
E X
()==⋅
np
Für die Varianz gilt:
Nn
N
Var(
X
)
=
⋅⋅⋅ −
np p
(
1
)
(7.16)
1
Der Faktor ( N - n )/( N - 1) entspricht der Endlichkeitskorrektur . Falls N im Vergleich zu n sehr groß
ist, kann die hypergeometrische Verteilung durch die Binomialverteilung approximiert werden.
Beispiel 7.8: Hypergeometrische Verteilung
Von den 75 Studenten in
Tab. 2.2 sind 35 weiblich. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass unter 5 zufällig ausgewählten Studenten 2 Frauen sind? Nach
.
7
Formel (7.14) ergibt
sich mit N = 75, M = 35, n = 5 und k = 2:
7
35
2
40
3
595 9 880
17 259 390
.
PX
(
==
2
)
=
=
03406
,
75
5
.
.
i Die Binomial- und die hypergeometrische Verteilung lassen sich durch zwei unter-
schiedliche Urnenmodelle veranschaulichen. Gegeben sei eine Urne mit roten und
weißen Kugeln; der Anteil roter Kugeln betrage p .
4
Zieht man aus dieser Urne nacheinander n Kugeln und legt nach jeder Ziehung
die Kugel zurück in die Urne, sind die Ziehungen unabhängig voneinander. Die
Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen, beträgt bei jedem Zug p . Ein sol-
cher Prozess lässt sich durch eine Binomialverteilung beschreiben.
4
Legt man jedoch die gezogenen Kugeln nicht zurück, ändern sich bei jedem
Zug die Wahrscheinlichkeiten. Die Ziehungen sind voneinander abhängig und
werden durch eine hypergeometrische Verteilung charakterisiert.
.
Tab. 7.1 fasst die wichtigsten Informationen zu den diskreten Verteilungen in einer
Übersicht zusammen. (Einen entsprechenden Überblick über die stetigen Verteilun-
gen findet man in . Tab. 7.3 .)
Normalverteilung
7.2
Allgemeine Eigenschaften
7.2.1
Siehe auch 7 Anhang, Mathematische Abhandlung 7.3.
Die Normalverteilung ist für die Statistik und deren praktische Anwendung von
grundlegender Bedeutung. Ihre Dichtefunktion wird durch die Gauß'sche Glocken-
 
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