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Beispiel 7.7: Negative Binomialverteilung
Eine Blutbank benötigt Blut von 10 Personen mit dem Rhesusfaktor positiv.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man nach der Blutentnahme bei maximal
14 Personen 10 positive Konserven hat? Nach
7
Formel (7.13) berechnet man für
X ~ NB (10; 0,85) (also r = 10 und p = 0,85):
9
9
==
PX
(
10
)
0 85
,
10
0 1969
,
=
10
9
==
10
PX
(
11
)
015 0 85
,
,
=
0 2953
,
11
9
==
2
10
PX
(
12
)
0 15
,
0 85
,
=
0 2436
,
==
12
9
3
10
PX
(
13
)
0 15
,
0 85
,
=
0 1462
,
13
9
==
PX
(
14
)
015
,
4
0 85
,
10
0
,0713
=
Durch Addition erhält man: P ( X 14) = 0,9533 . Das bedeutet, dass mit 95%-iger Wahr-
scheinlichkeit 14 Entnahmen für 10 positive Konserven ausreichen.
Hypergeometrische Verteilung***
7.1.5
Die hypergeometrische Verteilung beschreibt n Beobachtungen, bei denen jeweils alternativ
die Ereignisse A und - eintreten können. Im Gegensatz zur Binomialverteilung sind diese Beo-
bachtungen jedoch nicht unabhängig voneinander - das Auftreten eines Ereignisses beeinflusst
die Wahrscheinlichkeiten aller nachfolgenden Ereignisse. Dieser Verteilung liegen folgende An-
nahmen zugrunde:
4
Insgesamt stehen N Objekte (also endlich viele) zur Verfügung, von denen genau M die Ei-
genschaft A aufweisen und ( N - M ) die Eigenschaft - .
4
Von den N Objekten werden n zufällig ausgewählt.
Die Zufallsvariable X ~ HG ( n; N, M ) gibt an, wie häufig Ereignis A bei n Beobachtungen auftritt.
Die Wahrscheinlichkeiten sind:
M
k
NM
nk
N
n
(7.14)
PX k
(
==
Der Quotient p = M/N wird auch als Anteilswert bezeichnet. Damit ist der Erwartungswert der
hypergeometrischen Verteilung ähnlich wie bei der Binomialverteilung [
7
Formel (7.2)]:
 
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