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Wie Poisson nachwies, lässt sich für n ≥ 30 und p ≤ 0,1 die Binomialverteilung durch
folgende Grenzverteilung approximieren:
k
λ
PX k
(
== ⋅
)
e
λ
(7.9)
k
!
Der Buchstabe e symbolisiert die Euler-Zahl , deren Wert ungefähr 2,718 beträgt ( 7 An-
hang, Mathematische Abhandlung 7.2 ). 7 Formel (7.9) hat gegenüber 7 Formel (7.4) den
Vorteil, dass sie für große n und kleine k wesentlich leichter zu handhaben ist. Der
griechische Buchstabe λ (lambda) repräsentiert den Erwartungswert der Verteilung,
für den nach 7 Formel (7.2) gilt:
EX
()==⋅
λ
np
(7.10)
7
Nach 7 Formel (7.3) und 7 Formel (7.10) lässt sich die Varianz approximieren durch:
λ
λ
Var(
Xnpqn n
)
=⋅⋅=⋅⋅− →∞
(
1
)
λ
(7.11)
n n
Demnach stimmen bei der Poisson-Verteilung Erwartungswert und Varianz überein.
Durch den Parameter λ ist eine Poisson-verteilte Zufallsvariable eindeutig festgelegt;
sie wird als X ~ P (λ) angegeben. Wegen des kleinen Wertes für p bezeichnet man die-
se Verteilung auch als die »Verteilung der seltenen Ereignisse«.
!
Cave
Für die Berechnung einer Wahrscheinlichkeit nach 7 Formel (7.9) benötigt
man nur den Erwartungswert λ. Weitere Angaben (der Parameter
n
oder
die Wahrscheinlichkeit
für das Eintreten eines Ereignisses im Einzelfall)
sind nicht erforderlich. Daher ist die Poisson-Verteilung auch anwendbar,
wenn nur der Erwartungswert bekannt ist ( 7 Beispiel 7.5).
p
Beispiel 7.4: Poisson-Verteilung mit bekanntem
p
In einer Geburtsklinik werden jährlich n = 2000 Kinder geboren. Die Wahrscheinlichkeit,
dass ein Neugeborenes mit einem Down-Syndrom zur Welt kommt, beträgt p = 0,001.
Unter der Annahme, dass die Ereignisse unabhängig sind, lässt sich die Anzahl der Neu-
geborenen mit Down-Syndrom durch eine Poisson-verteilte Zufallsvariable X beschrei-
ben. Für den charakteristischen Parameter gilt: λ = n . p = 2.000 . 0,001 = 2. Mit
7
Formel
(7.9) berechnet man:
k
P ( X = k )
F ( k ) = P ( X k )
e -2 = 0,135
0
0,135
2 . e -2 = 0,271
1
0,406
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