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Bezüglich 7 Formel (7.5) sind folgende Regeln zu beachten:
4
Jeder Binomialkoeffizient ist eine natürliche Zahl.
4
Einen Binomialkoeffizienten berechnet man am einfachsten als Bruch mit
k natürlichen Zahlen im Zähler (beginnend bei n in absteigender Reihenfolge)
und k Zahlen im Nenner (beginnend bei 1 in aufsteigender Reihenfolge).
So ist z. B.
10
3
10 9 8
123
⋅⋅
⋅⋅ =
=
120
.
4
Für alle p gilt generell:
p 0 = 1 und p 1 = p .
7
4
Für alle k = 0, …, n gilt:
n
k
n
nk
10
3
10
7
=
=
; z.B.
4
Per definitionem ist:
nn
n
=
=
1
0
Ein Sonderfall stellt die symmetrische Binomialverteilung dar mit p = q = 0,5. Dann
vereinfachen sich die obigen Formeln zu:
EX
()
=⋅
05
n
(7.6)
Var(
X
)
=⋅
025
,
n
(7.7)
n
k
== =−=
PX k PX n k
(
)
(
)
⋅05
,
n
(7.8)
i Die Schiefe einer Binomialverteilung berechnet sich als γ 1 = ( q - p )/σ. Also ist die
Verteilung genau dann symmetrisch, wenn p = q .
Beispiel 7.3: Symmetrische Binomialverteilung
Wir betrachten Familien mit 4 Kindern, X sei die Anzahl der Jungen. Wir nehmen an, dass
ein Junge mit der Wahrscheinlichkeit von 0,5 geboren wird. Nach
7
Formel (7.6) und
7
Formel (7.7) ergeben sich E ( X ) = 2 und Var( X ) = 1. Für die Wahrscheinlichkeiten berech-
net man nach
7
Formel (7.8) (
.
Abb. 7.2):
6
 
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