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n
1
Var
()
X
=
Var
( )
X
= ⋅ ⋅
n p q
(7.3)
i
i
Beispiel 7.1: Binomialverteilung (Erwartungswert und Varianz)
Eine Therapie hat eine Erfolgswahrscheinlichkeit von 80%. 10 Patienten werden behan-
delt. Formal lässt sich dieses Vorgehen auffassen als ein Prozess bestehend aus n = 10
Bernoulli-Experimenten mit den möglichen Ergebnissen A (Erfolg) und - (Misserfolg). Die
Wahrscheinlichkeiten sind:
p = P ( A ) = 0,80 und q = P ( - ) = 0,20.
Die Zufallsvariable X ~ B (10; 0,8) quantifiziert die Anzahl der Erfolge. Für Erwartungswert
und Varianz ergeben sich:
7
μ = 10 . 0,8 = 8,0 nach
Formel (7.2)
ı 2 = 10 . 0,8 . 0,2 = 1,6 nach
7
7
Formel (7.3)
Etwas komplizierter ist die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten. Die Zufallsvariable
X ~ B ( n , p ) kann theoretisch jede natürliche Zahl zwischen 0 und n annehmen. Diese
Zahl gibt an, wie oft bei n Zufallsexperimenten das Ereignis A eingetreten ist. Die
entsprechenden Wahrscheinlichkeiten berechnet man nach folgender Formel:
n
k pq k
==
PX k
(
)
knk
fr
=
0
, ... ,
n
(7.4)
Der Ausdruck n
k
(sprich: n über k ) ist ein Binomialkoeffizient . Er quantifiziert die
Anzahl der Möglichkeiten, aus einer Menge von n Elementen genau k Elemente aus-
zuwählen, und ist definiert als:
n
k
n
k nk
!
!(
⋅⋅⋅
⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ −
12
...
n
=
=
(7.5)
⋅≤ −
!
(
1
...
k
) ((
1
... (
n k
))
Der Zähler n ! (sprich: n Fakultät) bezeichnet das Produkt, das aus allen natürlichen
Zahlen von 1 bis n gebildet wird. Entsprechend werden k ! und ( n - k )! im Nenner
berechnet.
Beispiel 7.2: Binomalverteilung (Wahrscheinlichkeiten)
Wir greifen zurück auf
Beispiel 7.1 und berechnen die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
genau 7 von 10 Patienten erfolgreich therapiert werden. Die Wahrscheinlichkeit, bei den
ersten 7 Patienten einen Erfolg und bei den restlichen 3 einen Misserfolg zu erzielen, ist:
6
7
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