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wird durch die Standardabweichung σ - quantifiziert. Man bezeichnet sie deshalb auch als Stan-
dardfehler des Mittelwerts . Dieser ist umso geringer, je kleiner die Standardabweichung der
Grundgesamtheit σ und je größer der Stichprobenumfang n ist. Aus diesem Grund ermöglichen
homogene Grundgesamtheiten mit kleinem σ-Wert bessere Schätzungen als heterogene Popu-
lationen mit großem σ. Wir werden in
7
Kap. 8 bei der Behandlung von Schätzverfahren darauf
zurückkommen.
Nach diesen theoretischen Überlegungen lässt sich nun das schwache Gesetz der großen Zah-
len herleiten. Es beinhaltet die Aussage, dass sich ein Mittelwert mit wachsendem Stichproben-
umfang dem Erwartungswert μ nähert:
n
1
X
=
X i
μ
(6.41)
n
n
→∞
i
=
1
6
Man sagt auch: Der Mittelwert konvergiert gegen den Erwartungswert. Die schärfere Form - das
starke Gesetz der großen Zahlen - besagt, dass diese Annäherung mit einer Wahrscheinlichkeit
von nahezu 1 erfolgt. Sei ε gilt: 0 eine beliebige positive Zahl; dann gilt:
(
) →∞
PX
|
−<
με
1
(6.42)
n
Verbal formuliert bedeutet
Formel (6.42), dass die Differenz ε zwischen einem Mittelwert und
dem Erwartungswert beliebig klein gehalten werden kann, wenn n hinreichend groß ist. Einer-
seits rechtfertigt dieses Gesetz einen hohen Stichprobenumfang. Andererseits besagt es auch,
dass ab einer gewissen Größe von n die Differenz so gering ist, dass ein größerer Stichproben-
umfang nicht mehr sinnvoll ist.
7
Kapitelzusammenfassung
Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten
Satz für das komplementäre Ereignis
- :
A
P ( - ) = 1 - P ( A )
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit:
PA PA B PA B
()
=∩+∩
(
)
(
)
Additionssatz:
Allgemein:
PA B PA PB PA B
(
∪= + − ∩
)
()
()
(
)
A und B disjunkt
PA B PA PB
(
∪= +
)
()
()
A und B unabhängig
PA B PA PB PA PB
(
∪= + − ⋅
)
()
()
() ()
 
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