Healthcare and Medicine Reference
In-Depth Information
Für k = 2 oder k = 3 erhält man damit folgende Abschätzungen:
1
9
4
81
PX
(|
−> ≤≈
μσ
|
2
)
0 111
,
,
PX
(|
−> ≤ ≈
μσ
|
3
)
0 049
,
Gesetz der großen Zahlen***
6.4.2
Siehe auch
Anhang, Mathematische Abhandlung 6.5.
Es ist intuitiv klar, dass sich der Erwartungswert einer Grundgesamtheit durch einen Stichpro-
benmittelwert umso genauer schätzen lässt, je größer der zugrunde liegende Stichprobenum-
fang ist. Das Gesetz der großen Zahlen ist die mathematisch präzise Formulierung dieses Sach-
verhalts.
Vorab einige Überlegungen: Wie wir wissen, wird der Mittelwert aus n Werten berechnet, die
zufällig in die Stichprobe gelangen. Würde man aus derselben Grundgesamtheit eine andere
Stichprobe des Umfangs n ziehen, erhielte man andere Stichprobenwerte und damit auch einen
anderen Mittelwert. Bei einer großen Grundgesamtheit sind eine enorme Vielzahl von Stichpro-
ben des Umfangs n und fast ebenso viele verschiedene Mittelwerte denkbar. Demzufolge ist je-
der Mittelwert vom Zufall abhängig und lässt sich insofern auffassen als die Realisation einer
Zufallsvariablen:
7
n
= 1
X
i
i
X
n
Alle Variablen X i haben den Erwartungswert μ und die Varianz σ 2 . Für die Funktionalparameter
der Mittelwerte - gilt:
E ()=μ
(6.38)
2
= σ
Var(
X
)
(6.39)
n
σ
σ
=
(6.40)
x
n
In
Abschn. 7.2.5 wird gezeigt, dass diese Mittelwerte normalverteilt sind. Diese Betrachtung
der Zufallsvariablen - ist für jemanden, der sich erstmals mit Wahrscheinlichkeitsrechnung be-
fasst, eine eigenartige Sichtweise. Normalerweise liegt eine konkrete Stichprobe vor, aus der ein
einziger Mittelwert resultiert. Wieso spricht man nun von der Verteilung der Mittelwerte , und
was bedeuten in diesem Zusammenhang der Erwartungswert und die Standardabweichung
von - ?
Um einen Mittelwert beurteilen zu können, muss man sich darüber im Klaren sein, dass dieser
Wert zufällig zustande gekommen ist und dass sich ebenso gut ein anderer aus einer immensen
Vielzahl von Möglichkeiten hätte ergeben können. Die Variabilität dieser möglichen Mittelwerte
6
7
Search Pocayo ::




Custom Search