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γ
=
EX EX
(
)
σ
(6.34)
2
Das 4. zentrale Moment der Normalverteilung ist 3σ 4 . (Dies sei ohne Beweis erwähnt.) Mit der
Definition nach
7 Formel (6.34) erreicht man, dass die Wölbung einer normalverteilten Zufalls-
variablen den Wert 0 annimmt.
Sätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung
6.4
Tschebyscheff-Ungleichung***
6.4.1
6
Siehe auch
Anhang, Mathematische Abhandlung 6.4.
Der russische Mathematiker Pafnutij Tschebyscheff (1821-1879) leitete im Jahr 1874 die nach ihm
benannte Tschebyscheff-Ungleichung her. Sie erlaubt eine Abschätzung der Wahrscheinlich-
keit, mit der die Zufallsvariable X um mehr als eine feste Zahl vom Erwartungswert μ abweicht.
Es gilt:
7
1
PX k
(|
−> ≤
μσ
|
)
2 f r alle
k
>
0
(6.35)
k
Diese Ungleichung lässt sich auch in einer anderen Form schreiben, indem man den Faktor k σ
durch ε (epsilon) ersetzt:
2
2
με σ
ε
PX
(|
−>≤
|
)
f r alle
ε
>
0
(6.36)
Die Tschebyscheff-Ungleichung setzt keine besondere Verteilungsform voraus - sie gilt generell
für alle, also für symmetrische sowie für schiefe Verteilungen. Allerdings sind die daraus herge-
leiteten Abschätzungen recht grob. Für k = 1 ergibt sich aus
7 Formel (6.35) lediglich die triviale
Feststellung:
PX
(|
−> ≤
μσ1
|
)
Für k = 2 und k = 3 berechnet man:
1
4
1
9
PX
(|
−> ≤
μσ
|
2
)
,
PX
(|
−> ≤
μσ
|
3
)
Demnach liegen bei jeder Verteilung mindestens 8/9 aller Werte innerhalb der Grenzen μ ± 3σ.
(Darauf wurde bereits in
7 Abschn. 4.3.1 bei der Einführung der empirischen Standardabwei-
chung hingewiesen.) Liegen genauere Informationen bezüglich der Verteilungsform vor, sind
bessere Abschätzungen möglich. Für symmetrische, eingipflige Verteilungen hat Gauß eine
schärfere Ungleichung nachgewiesen:
4
PX k
(|
−> ≤
μσ
|
)
2 f r alle
k
2
3
1155
,
(6.37)
9
k
 
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