Healthcare and Medicine Reference
In-Depth Information
Der griechische Buchstabe σ (sigma) entspricht dem lateinischen s und bezeichnet die
Standardabweichung der Grundgesamtheit. Für diskrete bzw. stetige Zufallsvariable
ist die Varianz äquivalent zu:
k
σ
2
=
(
x
μ
)
2
p
(6.27)
i
i
i
1
+∞
σ
2
=
(
x
μ
)
2
f x dx
( )
(6.28)
−∞
Wegen der quadratischen Dimension einer Varianz gilt:
Var
(
aX b
+=⋅
)
a
2
Var(
X
)
(6.29)
Daraus folgt sofort (für a = 0): Var( b ) = 0. Dies beinhaltet die triviale Feststellung: Eine
Konstante hat keine Varianz. Für die Summe zweier Zufallsvariablen gilt allgemein:
Var
(
XY X Y
+=
)
Var
(
)
+
Var
(
)
+⋅
2
Cov
(
XY
, )
(6.30)
Die Kovarianz ist definiert als:
(
) =
Cov(
XY E X
, )
=
(
μ
) (
⋅ −
Y
μ
)
EXY
(
)
μ μ
(6.31)
x
y
x
y
Die Kovarianz ist 0, wenn X und Y unabhängige Variable sind. Für die Summe meh-
rerer unabhängiger Zufallsvariablen gilt:
n
n
Var
(
∑∑
X
)
=
Var(
i1
X
)
(6.32)
i
i
i
=
1
=
Zentrale Momente***
6.3.6
Weitere Charakterisierungen einer quantitativen Zufallsvariablen gestatten die sog. Momente EX k
und die zentralen Momente E ( X - EX ) k (wobei k eine natürliche Zahl ist). Das 1. Moment EX haben
wir bereits als den Erwartungswert μ kennen gelernt. Das 2. zentrale Moment E ( X - EX ) 2 ist die
Varianz. Aus dem 3. zentralen Moment lässt sich die Schiefe γ 1 (gamma) herleiten (
7 Formel 4.17):
γ
=
EX EX
(
)
33
σ
(6.33)
1
Da sich wegen der 3. Potenz negative und positive Abweichungen der x -Werte vom Erwartungs-
wert ausgleichen, ergibt sich bei symmetrischen Verteilungen für die Schiefe der Wert 0. Bei
linksgipfligen Verteilungen ist γ 1 > 0, bei rechtsgipfligen ist γ 1 < 0. Mit dem 4. zentralen Moment
wird die Wölbung definiert als (
7 Formel 4.20):
Search Pocayo ::




Custom Search