Healthcare and Medicine Reference
In-Depth Information
Die empirische Dichte wurde in 7 Abschn. 3.1.4 eingeführt. Deren grafische Dar-
stellung ist ein Histogramm mit der Gesamtfläche 1. Die Verteilungsfunktion einer
stetigen Zufallsvariablen ist das Integral über der Dichte:
x
Fx PX x
()
=
(
)
=
ftdt
()
(6.18)
Daraus folgt für das komplementäre Ereignis X > x :
+∞
PX x
(
>=
)
ftdt Fx
( )
=−
1
( )
(6.19)
x
6
!
Cave
Die Dichte in 7 Gleichung (6.18) und 7 Gleichung (6.19) wird mit
f
(
t
)
bezeichnet, weil
x
eine Grenze des Integrals darstellt, während sich die
Variable
t
zwischen den Grenzen -∞ und
x
bzw. zwischen
x
und +∞
bewegt.
Aus 7 Formel (6.18) und 7 Formel (6.19) lassen sich folgende allgemeine Eigenschaften
der Verteilungsfunktion F ( x ) herleiten ( 7 Abschn. 3.2 ):
4
F ( x ) ist eine monoton wachsende Funktion.
4
F ( x ) hat die Grenzwerte F (-∞) = 0 und F (+∞) = 1.
4
Die Dichte f ( x ) ist die Ableitung der Verteilungsfunktion; es gilt nämlich:
f ( x ) = F ' ( x ).
Die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert zwischen a und b annimmt, wird folgen-
dermaßen berechnet:
b
Pa X b f xdx Fb Fa
a
(
≤≤=
)
( )
= −
( )
( )
(6.20)
Das Integral in 7 Formel (6.20) beschreibt eine Fläche, die von der x -Achse, der Kurve
f ( x ) und den Parallelen zur y -Achse x = a und x = b begrenzt wird ( . Abb. 6.2 ). Dies
entspricht einem Teil der Gesamtfläche unter der Dichtefunktion, deren Wert nach
7
Formel (6.17) 1 beträgt. Infolgedessen hat das Integral in 7 Formel (6.20) immer einen
Wert zwischen 0 und 1. Für die Wahrscheinlichkeit, dass X einen bestimmten Wert a
annimmt, berechnet man:
PX a Fa Fa
(
== − =0
)
()
()
(6.21)
Dieses Ergebnis mag manchen Leser überraschen. Es sei an einem konkreten Beispiel
erläutert: Wir betrachten die Zufallsvariable X , die das Merkmal »Körpergröße« sym-
 
Search Pocayo ::




Custom Search