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Zufallsvariable
6.3
Bedeutung einer Zufallsvariablen
6.3.1
Der Begriff des Merkmals ist fundamental für die deskriptive Statistik. Die Beschrei-
bung einer Stichprobe beruht im Wesentlichen auf den Häufigkeiten der Merk-
malsausprägungen und auf statistischen Kenngrößen wie etwa Mittelwert und Stan-
dardabweichung. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung benutzt man anstelle des kon-
kreten Begriffs »Merkmal« den abstrakten Begriff » Zufallsvariable «:
Theoretisch handelt es sich dabei um eine Funktion, die jedem möglichen Ergeb-
nis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet. Diese Zahlenwerte entspre-
chen den Merkmalswerten und werden mit Kleinbuchstaben vom Ende des Alphabets
(z. B. x i ) symbolisiert. Die Zufallsvariable selbst bezeichnet man in der Regel mit dem
entsprechenden Großbuchstaben (z. B. X ). Für das Verständnis der Wahrscheinlich-
keitsrechnung ist es sehr hilfreich, sich die Analogie der Begriffe »Merkmal« und
»Zufallsvariable« vor Augen zu halten.
Die x i werden Realisationen (oder Realisierungen ) von X genannt. Bei quantita-
tiven Merkmalen sind die x i die Mess- oder Zählwerte; bei ordinal skalierten Merk-
malen handelt es sich um numerisch kodierte Beobachtungswerte (die einer natürli-
chen Anordnung unterliegen). Nominal skalierte Merkmale lassen sich durch die
Einführung von Dummy-Variablen numerisch kodieren ( 7 Beispiel 2.4 ). Ebenso wie
ein Merkmal lässt sich auch eine Zufallsvariable einem bestimmten Skalenniveau zu-
ordnen; ferner lassen sich unterscheiden:
4
6
Diskrete Zufallsvariablen ( 7 Abschn. 6.3.2 )
4
Stetige Zufallsvariablen ( 7 Abschn. 6.3.3 )
Diskrete Zufallsvariablen
6.3.2
Diskrete Zufallsvariable ergeben sich bei der Beobachtung von Zufallsexperimenten,
bei denen abzählbar viele Ergebnisse möglich sind. So lassen sich beispielsweise die
Ergebnisse beim Münzwurf, das Merkmal »Blutgruppe« oder die Anzahl der Schwan-
gerschaften einer Frau durch diskrete Zufallsvariablen beschreiben ( 7 Beispiel 6.10 ).
Ein Elementarereignis A wird dargestellt durch X = x i ; das heißt: Die Zufallsvariable
X nimmt den Wert x i an. Für die Wahrscheinlichkeit P ( X = x i ) sind folgende Schreib-
weisen gebräuchlich:
PA PX x Px p
i
()
=
(
=
)
=
( )
=
(6.14)
i
i
 
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