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PA PBA
PA PBA PA PBA
() (
)
PAB
(
)
=
(6.13)
() (
)
+
() (
)
Das Bayes-Theorem ermöglicht also Rückschlüsse von der A-priori-Wahrscheinlich-
keit P ( A ) auf die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit P ( A | B ). 7 Formel 6.13 wird in der
Medizin bei diagnostischen Tests benutzt: Wenn A das Ereignis »Vorliegen einer be-
stimmten Krankheit« symbolisiert und B das Ereignis »Testergebnis positiv«, lässt sich
mit 7 Formel 6.13 die Wahrscheinlichkeit P ( A | B ) berechnen, mit der ein Patient er-
krankt ist, falls der Testbefund positiv ist ( 7 Beispiel 6.9 ).
Beispiel 6.9: Sensitivität, Spezifität und Vorhersagewerte
Ein HIV-Test habe eine Sensitivität von 99% und eine Spezifität von 99,5%. Dann werden
99% der infizierten und 99,5% der nichtinfizierten Personen richtig befundet. Die Wahr-
scheinlichkeit, dass eine infizierte Person fälschlicherweise ein negatives Ergebnis erhält,
ist also 1%. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich bei einer nichtinfizierten Person ein falsch
positives Ergebnis ergibt, berechnet sich als 0,5%. Wird dieser Test bei einer Risikogruppe
von 100.000 Personen mit einer Prävalenz von 1/1000 angewandt, erwartet man theo-
retisch folgende Häufigkeiten:
Positiver Befund
Negativer Befund
Summe
Infiziert
99
1
100
Nichtinfiziert
500
99.400
99.900
Summe
599
99.401
100.000
Mit der Prävalenz P ( H ) = 0,001, der Sensitivität P ( T + | H ) = 0,99 und der Spezifität P ( T - | - )
= 0,995 ergeben sich die Vorhersagewerte mit
7
Formel (6.13). Sie lassen sich auch aus
den obigen Häufigkeiten herleiten als:
P ( H | T +) = 99/599 = 0,165 und P ( H - | T -) = 99.400/99.401 = 0,99999.
Demnach ist nur etwa 1/6 der positiven Ergebnisse auf eine Infektion zurückzuführen; der Rest
ist falsch positiv. Die negativen Befunde sind dagegen fast alle korrekt.
!
Cave
Diagnostische Tests werden in 7 Abschnitt 14.1 ausführlich behandelt.
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