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Beispiel 6.5: Wahrscheinlichkeit nach Kolmogoroff
Wir betrachten die Funktion P , die den Blutgruppen folgende Wahrscheinlichkeiten zu-
ordnet (
Beispiel 6.3): P (0) = 0,40, P ( A ) = 0,45, P ( B ) = 0,10 und P ( AB ) = 0,05. Der Ergebnis-
menge Ω ist {0, A, B, AB }. Wie man leicht nachprüfen kann, sind die Axiome von Kolmogo-
roff erfüllt. Jede Wahrscheinlichkeit liegt zwischen 0 und 1 (Axiom 1), außerdem ist P (Ω)
= 1- denn eine der 4 Blutgruppen liegt mit Sicherheit vor (Axiom 2).
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine der Blutgruppen A oder B gegeben ist, beträgt: P ( A B )
= P ( A ) + P ( B ) = 0,45 + 0,10 = 0,55; Analoges gilt für die anderen Ereignispaare. (Demnach
ist Axiom 3 erfüllt.) Somit handelt es sich bei der Funktion P um eine Wahrscheinlichkeit
im Sinne von Kolmogoroff.
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Die Definition der Wahrscheinlichkeit nach Kolmogoroff schließt die Definition von
Laplace ein; sie ist jedoch wesentlich allgemeiner: Während Laplace davon ausgeht,
dass alle Elementarereignisse mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintreten, verlangt Kol-
mogoroff lediglich, dass die Wahrscheinlichkeit jedes Elementarereignisses eine Zahl
zwischen 0 und 1 ist und dass deren Summe 1 ergibt. Aus den drei Axiomen lassen sich
folgende Rechenregeln herleiten:
Wahrscheinlichkeit für das komplementäre Ereignis Aus P ( A ) ergibt sich sehr ein-
fach die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis - :
PA
()
=−
1
PA
()
(6.3)
Daraus und aus Axiom 2 folgt für das unmögliche Ereignis:
P (∅=0
(6.4)
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit Er besagt, dass ein Ereignis A entweder
zusammen mit dem Ereignis B oder mit - auftritt:
PA PA B PA B
()
=∩+∩
(
)
(
)
(6.5)
Das Ereignis A - ist identisch mit der Differenzmenge A - B . Deshalb folgt aus
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Formel (6.5) sofort:
PA B PA PA B
(
−= − ∩
)
(
)
(
)
(6.6)
Additionssatz Für die Vereinigung zweier Ereignisse gilt:
PA B PA PB PA B
(
∪= + − ∩
)
()
()
(
)
(6.7)
 
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