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Mit der Laplace'schen Definition lassen sich auch kompliziertere Wahrscheinlichkei-
ten herleiten - so z. B. die Wahrscheinlichkeit, 6 Richtige im Lotto zu erzielen. Den-
noch ist diese Definition nur eingeschränkt anwendbar: Sie setzt nämlich voraus, dass
alle Elementarereignisse mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintreten. Für das Würfeln
und den Münzwurf trifft dies auch zu. So ist beispielsweise leicht nachvollziehbar, dass
man bei einem idealen Würfel jeder Augenzahl die Wahrscheinlichkeit 1/6 zuordnet
oder dass die Wahrscheinlichkeit, beim Münzwurf »Wappen« oder »Zahl« zu erhalten,
jeweils ½ beträgt. Für Ereignisse im medizinischen Bereich ist dieser Ansatz jedoch
im Allgemeinen unbrauchbar.
Empirische Herleitung Bei Studien in der medizinischen Forschung wird eine Wahr-
scheinlichkeit in der Regel empirisch ermittelt. Dazu wird eine hinreichend große
Stichprobe untersucht; der Wert der relativen Häufigkeit einer Merkmalsausprägung
wird dann als Näherungswert für die entsprechende Wahrscheinlichkeit zugrunde
gelegt. Dieses Vorgehen lässt sich durch das »Gesetz der großen Zahlen« rechtfertigen
( 7 Abschn. 6.4.2 ).
Beispiel 6.3: Empirische Herleitung von Wahrscheinlichkeiten
Aus den Daten aus
Tab. 2.2 ergeben sich folgende Häufigkeiten: 30 (Blutgruppe 0),
32 (A), 9 (B) und 4 (AB). 63 Studenten haben Rhesusfaktor positiv (R+), 12 Rhesusfaktor
negativ (R-). Daraus ergeben sich die Schätzwerte:
.
ˆ (0) = 40%, ˆ ( A ) = 43%, ˆ ( B ) = 12%, ˆ ( AB ) = 5%, ˆ ( R+ ) = 84%, ˆ ( R- ) = 16%.
Die exakten Wahrscheinlichkeiten sind (bezogen auf Mitteleuropa):
P (0) = 40%, P ( A ) = 45%, P ( B ) = 10%, P ( AB ) = 5%, P ( R+ ) = 85%, P ( R- ) = 15%.
Computersimulation Bei sehr komplexen Problemen, insbesondere aus dem tech-
nisch-wissenschaftlichen Bereich, ist die empirische Vorgehensweise nicht brauch-
bar. Um beispielsweise die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass ein Flugzeug
abstürzt oder dass eine Region von einem Erdbeben heimgesucht wird, kann man
keine Zufallsexperimente durchführen. In diesen Fällen ist es sinnvoll, das Problem
im Computer zu simulieren und mit Hilfe dieses Modells Wahrscheinlichkeiten zu
ermitteln. - Computersimulationen werden auch in der Wahrscheinlichkeitsrech-
nung verwendet, um basierend auf einer großen, künstlich erzeugten Datenmenge
theoretische Verteilungen zu simulieren und daraus Wahrscheinlichkeiten zu berech-
nen, die sich weder theoretisch noch empirisch herleiten lassen. Dank leistungsfä-
higer Rechner und adäquater Software werden Computersimulationen zuneh-
mend angewandt. Im Rahmen dieses Buches wird jedoch nicht näher auf diese he-
matik eingegangen.
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